已知实数 x,y 满足 4x^2+4xy+7y^2=1 ，求 7x^2-4xy+4y^2 的最小值和最大值

天山草@ · 发表于 2021-4-1 21:04

下面是一道 2020 年浙江省盐城市高三模拟高考试题。

若实数 \(x, y\) 满足 \(4x^2+4xy+7y^2=1 \)，求 \(7x^2-4xy+4y^2 \) 的最小值和最大值。

天山草@ · 发表于 2021-4-1 21:18

本帖最后由天山草@ 于 2021-4-2 09:25 编辑

江苏谷老师的解法：

【方法一】

注：这个方法简明易懂，便于中学生掌握。

天山草@ · 发表于 2021-4-1 21:43

本帖最后由天山草@ 于 2021-4-2 11:20 编辑

“打酱油的”的网友解法。

【方法二】

方法不错，但是如果是在考场笔试，此法很费时间。

天山草@ · 发表于 2021-4-1 22:32

本帖最后由天山草@ 于 2021-4-2 12:39 编辑

本题主播荀老师的方法。

【方法三】见下面图片。

这个方法的缺点是，在求出最小值的时候，不能同时求出最大值。并且计算过程也繁琐，不宜推荐给中学生使用。

hannah8201 · 发表于 2021-4-2 00:56

解法一判别式的b^2-4ac b是有y的它估计是漏写了其实就是个齐次的判别式法

luyuanhong · 发表于 2021-4-2 08:16

楼上天山草@ 的帖子很好！已收藏。

天山草@ · 发表于 2021-4-2 20:54

【方法四】拉格朗日乘子法。

波斯猫猫 · 发表于 2021-4-2 21:34

本帖最后由波斯猫猫于 2021-4-3 08:03 编辑

题：已知实数 x,y 满足 4x^2+4xy+7y^2=1 ，求 7x^2-4xy+4y^2 的最小值和最大值。

思路：（1）令7x^2-4xy+4y^2=k，则由4x^2+4xy+7y^2=1，有11（x^2+y^2）=k+1，

即k=11（x^2+y^2）-1。

（2）总可以设x^2+y^2=r^2（r＞0），即x=rcosθ，y=rsinθ。代入 4x^2+4xy+7y^2=1 中，整理得

1/r^2=11/2+(5/2)sin（2θ+β），所以，1/8≤r^2≤1/3，或11/8≤11r^2≤11/3，

即3/8≤11（x^2+y^2）-1≤8/3，也就是3/8≤k≤8/3。

luyuanhong · 发表于 2021-4-3 00:00

楼上波斯猫猫的解答很好！已收藏。

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已知实数 x,y 满足 4x^2+4xy+7y^2=1 ，求 7x^2-4xy+4y^2 的最小值和最大值

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