素数公式

太阳

太阳

验证a=1，3，27，2187

太阳

a=14348907，数据大，软件无法验证

yangchuanju

异想天开                       
(8*10^3a-1)/(4*10^a+2*10^a+1)是素数                       
分子（8*10^3a-1)=(2*10^a)^3-1=(2*10^a-1)*(4*10^2a+4*10^a+1)                       
尚若太阳先生的分母是4*10^a+4*10^a+1，则                       
(8*10^3a-1)/(4*10^a+4*10^a+1)=2*10^a-1                       
19,199,1999是素数，但19999=7*2857不是素数，向后更多的199…9不是素数。                       

不过，太阳先生在命题中设定了一个条件，a=(3^2^2^2…)/3，                       
指数含1个2时a=3；含2个2时a=27；含3个2时a=2187；……                       
当a=3时，2*10^3-1=1999是素数；                       
当a=27时，2*10^27-1=199999999999999999999999999<27>是素数；                       
当a=2187时，2*10^2187-1已被证明是合数，但分解式没有得到；                       
……                       
可能太阳先生要说“我的分母是4*10^2a+2*10^a+1”，                       
请问4*10^2a+2*10^a+1一定能整除8*10^3a-1吗？                       

太阳

a取奇数，(8*10^3a-1)/(4*10^2a+2*10^a+1)=m，8*10^3a-1最少分成两个素数乘积，8*10^3a-1必定是合数

太阳

yangchuanju 发表于 2021-4-13 08:24
异想天开                       
(8*10^3a-1)/(4*10^a+2*10^a+1)是素数                       
分子（8*10^3a-1)=(2*10^a)^3-1=(2*10^a-1)*(4*10^ ...

当a=2187时，2*10^2187-1已被证明是合数，请问分成多少个素数乘积？

yangchuanju

Known (probable) prime numbers（已知的或可能的素数）
2×10^1-1 = 19 is prime.
2×10^2-1 = 199 is prime.
2×10^3-1 = 1999 is prime.
2×10^5-1 = 199999 is prime.
2×10^7-1 = 19999999 is prime.
2×10^26-1 = 1(9)26<27> is prime.
2×10^27-1 = 1(9)27<28> is prime.
2×10^53-1 = 1(9)53<54> is prime.
2×10^147-1 = 1(9)147<148> is prime.
2×10^236-1 = 1(9)236<237> is prime.
2×10^248-1 = 1(9)248<249> is prime.
2×10^386-1 = 1(9)386<387> is prime.
2×10^401-1 = 1(9)401<402> is prime.
2×10^546-1 = 1(9)546<547> is prime.
2×10^785-1 = 1(9)785<786> is prime.
2×10^1325-1 = 1(9)1325<1326> is prime. (Hugh C. Williams / December 31, 1985 )
2×10^1755-1 = 1(9)1755<1756> is prime. (Hugh C. Williams / December 31, 1985 )
2×10^2906-1 = 1(9)2906<2907> is prime. (Hugh C. Williams / December 31, 1985 )
2×10^3020-1 = 1(9)3020<3021> is prime. (Hugh C. Williams / December 31, 1985 )
2×10^5407-1 = 1(9)5407<5408> is prime. (Harvey Dubner / Cruncher / October 1, 1994 )
2×10^5697-1 = 1(9)5697<5698> is prime. (Harvey Dubner / Cruncher / October 1, 1994 )
2×10^5969-1 = 1(9)5969<5970> is prime. (Harvey Dubner / Cruncher / October 1, 1994 )
2×10^7517-1 = 1(9)7517<7518> is prime. (Harvey Dubner / Cruncher / July 31, 1993 )
2×10^15749-1 = 1(9)15749<15750> is prime. (Harvey Dubner / Cruncher / June 16, 1999 )
2×10^19233-1 = 1(9)19233<19234> is prime. (Roland Clarkson / Proth.exe / September 21, 2000 )
2×10^38232-1 = 1(9)38232<38233> is prime. (Eric J. Sorensen / Proth.exe / September 3, 2001 )
2×10^55347-1 = 1(9)55347<55348> is prime. (Eric J. Sorensen / Proth.exe / July 18, 2002 )
2×10^1059002-1 = 1(9)1059002<1059003> is prime. (Serge Batalov / Srsieve, LLR / September 17, 2013 )

太阳

太阳 发表于 2021-4-13 11:59
a取奇数，(8*10^3a-1)/(4*10^2a+2*10^a+1)=m，8*10^3a-1最少分成两个素数乘积，8*10^3a-1必定是合数

a取奇数，8*10^3a-1必定含有4*10^2a+2*10^a+1因子

太阳

太阳 发表于 2021-4-13 12:02
当a=2187时，2*10^2187-1已被证明是合数，请问分成多少个素数乘积？

10^6561*8-1<6562> = 22549 · 9326359369<10> · 1999999999...99<2188> · 1902043997...21<4361>
2*10^2187-1，试好多次都没有分解素数乘积

yangchuanju

yangchuanju 发表于 2021-4-13 08:24
异想天开                       
(8*10^3a-1)/(4*10^a+2*10^a+1)是素数                       
分子（8*10^3a-1)=(2*10^a)^3-1=(2*10^a-1)*(4*10^ ...

x^3-1=(x-1)*(x^2+x+1)
8*x^3-1=(2x)^3-1=(2x-1)*(4x^2+2x+1)
是我将因式分解公式弄混了，太阳先生的分母中项的系数2是对的，分母4*10^2a+2*10^a+1是正确的！