求证：1/ c^3循环节的位数必定是偶数

太阳

已知：整数a>0，c/3≠a，奇合数c，偶数k>0，循环数1/ c^3，1/ c^3循环节的位数记作d
求证：d=k，(1/ c^3循环节的位数必定是偶数)
已知：整数a>0，c/3≠a，奇合数c，偶数k>0，互质数b，c，循环数b/ c^3，b/ c^3循环节的位数记作d
求证：d=k，(b/ c^3循环节的位数必定是偶数)

yangchuanju

明确告诉您，尚若设定c是奇合数，c/3≠a没有必要，但c不能被5整除确是必须的。
1/ c^3循环节的位数可能是偶数，也可能是奇数，您的这个命题是错误的！

太阳

尚若设定c是奇合数，c/3≠a没有必要，给出一个反例，1/9^3，循环节位数81

太阳

yangchuanju 发表于 2021-4-14 03:37
明确告诉您，尚若设定c是奇合数，c/3≠a没有必要，但c不能被5整除确是必须的。
1/ c^3循环节的位数可能是 ...

已知：整数a>0，c/3≠a，奇合数c，偶数k>0，循环数1/ c^3，1/ c^3循环节的位数记作d
求证：d=k，(1/ c^3循环节的位数必定是偶数)
命题是正确，否定不了它，找不到反例存在

yangchuanju

太阳 发表于 2021-4-14 06:19
尚若设定c是奇合数，c/3≠a没有必要，给出一个反例，1/9^3，循环节位数81

1/3、1/9、1/27、1/81、1/243、1/729的循环节位数（长度）分别是1,1,3,9,27,81，不符合一般奇素数p的k次幂倒数循环节长度等于(p-1)/t*p^(k-1)的规律，式中t为p-1的某个约数；对于3来说3的k次幂倒数循环节长度等于(3-1)/2*3^(k-2)=3^(k-2)，排除之也可；不排除也可，不影响最小公倍数的计算。
与3具有类似性质的还有素数487、56598313，487的k次幂倒数循环节长度等于486*487^(k-2)；56598313的k次幂倒数循环节长度等于56598312*56598313^(k-2)。
在十进制下素数2和5必须排除，因为2和5都是10个约数。

yangchuanju

太阳 发表于 2021-4-14 06:20
已知：整数a>0，c/3≠a，奇合数c，偶数k>0，循环数1/ c^3，1/ c^3循环节的位数记作d
求证：d=k，(1/ c^3 ...

素数7,13,17,19,23,29等倒数循环节长度是偶数，它们的k次幂倒数循环节长度也是偶数；素数37,41,271,43,53,79等倒数循环节长度是奇数，它们的k次幂倒数循环节长度也是奇数。
不含素因子2和5的奇合数的都是循环节长度等于所含各个素因子及幂的循环节长度的最小公倍数；偶数与偶数的最小公倍数是偶数，奇数与奇数的最小公倍数是奇数，偶数与奇数的最小公倍数也是偶数。
当你假定的奇合数c如果仅含37,41之类素数（包括k次幂），其1/c,1/c^2,1/c^3的循环节长度一定是奇数；因此说你的“必是偶数”的命题不正确！

太阳

yangchuanju 发表于 2021-4-14 07:18
素数7,13,17,19,23,29等倒数循环节长度是偶数，它们的k次幂倒数循环节长度也是偶数；素数37,41,271,43, ...

是否能给出5的倍数一个反例？

yangchuanju

太阳 发表于 2021-4-14 08:52
是否能给出5的倍数一个反例？

5,25,125,625，……倒数都是有限小数，含素因子5的奇合数倒数不再是纯循环小数（纯循环小数从小数点后第1位就开始循环）。
含素因子2和5的合数的倒数都是混循环小数。仅含一个5的从小数点后第2位开始循环，仅含二个5的从小数点后第3位开始循环，仅含三个5的从小数点后第4位开始循环，……；
仅含一个2的从小数点后第2位开始循环，仅含二个2的从小数点后第3位开始循环，仅含三个2的从小数点后第4位开始循环，……；
即含素因子5又含素因子2的合数倒数循环节开始位置由5和2的较高方次决定，若含因子50=2*5*5，则从小数点后第3位开始循环；若含20=2*2*5，也从小数点后第3位开始循环。这都是正常的，无反例可谈。排除2和5，只是让倒数是个纯循环小数使问题简单点罢了！
用最小公倍数法求循环节位数时，素因子5和2不考虑！

太阳

yangchuanju 发表于 2021-4-14 06:59
1/3、1/9、1/27、1/81、1/243、1/729的循环节位数（长度）分别是1,1,3,9,27,81，不符合一般奇素数p的k ...

1/56598313^3，循环节的位数是奇数？

太阳

yangchuanju 发表于 2021-4-14 07:18
素数7,13,17,19,23,29等倒数循环节长度是偶数，它们的k次幂倒数循环节长度也是偶数；素数37,41,271,43, ...

已知：整数a>0，c/3≠a，奇合数c，偶数k>0，循环数1/ c^3，1/ c^3循环节的位数记作d
求证：d=k，(1/ c^3循环节的位数必定是偶数)
你认为此命题是错误，是否能给出一个反例？