999 111 101 901型整数的相互转换

yangchuanju

在十进制系统中，999…99是各位整数中的最大数，111…11的各位数字都是1，人们对这类数字比较感兴趣。
令n是大于0的正整数，则10的n次方减1所得数字就是999…99，999…99全是合数。

一、999…99除以9，即得111…11
将999…99除以9，即得111…11，它的中间不再全是合数，但其中的素数并不太多，较小的几个素数是：11，1111111111111111111<19>，11111111111111111111111<23>。

二、分解111…11，即得100…01
若10的指数n = 2k是偶数，111…11可表示成(10^2k-1)/9 = (10^k+1)*(10^k-1)/9，即111…11<2k> = 100…01<k+1>*111…11<k>，尖括号中的数字或符号表示数字的位数，下同，不再一一说明。
已知的100…01型素数只有两个，及11和101。

三、分解111…11或100…01即得99…91…01型数
太阳先生近期特别关注100^a-10^a+1型整数，其中a是偶数，认为其中的某些数字“必定是素数”。
令a = 2、4、6……，则100^a-10^a+1 = 9901、99990001、999999000001……；现已查明，其中只有4个素数，分别是9901、99990001<8>、999999000001<12>、9999999900000001<16>；是否存在更多的本类素数，尚不清楚。
这4个素数分别含在111…11<12>、111…11<24>、111…11<36>、111…11<48>之中，分别含在100…01<7>、100…01<13>、100…01<19>、100…01<25>之中，
1000001 = 9901*101
100…01<13> = 99990001*10001
100…01<19> = 999999000001*1000001
100…01<25> = 9999999900000001*100000001
容易推知，合数999…90…001<20>、999…90…001<24>、999…90…001<28>、999…90…001<32>……分别含在111…11<60>、111…11<72>、111…11<84>、111…11<96>……之中，分别含在100…01<31>、100…01<37>、100…01<43>、100…01<49>……之中，
100…01<31> = 999…90…001<20>*100…01<11>
100…01<37> = 999…90…001<24>*100…01<13>
100…01<43> = 999…90…001<28>*100…01<15>
100…01<49> = 999…90…001<32>*100…01<17>
…………

四、999…90…001型正整数可整除100…01型正整数和清一色数
999…90…001型正整数可整除相应的100…01型正整数，100…01型正整数又可整除相应的111…11型清一色数，故999…90…001型正整数必能整除相应的111…11型清一色数。
1000001/9901 = 101
100…01<13>/99990001 = 10001 = 73*137
100…01<19>/999999000001 = 1000001 = 101*9901
100…01<25>/9999999900000001 = 100000001 = 17*5882353
100…01<31>/999…90…001<20> = 100…01<11> = 101 × 3541 ×27961
100…01<37>/999…90…001<24> = 100…01<13> = 73 × 137× 99990001
100…01<43>/999…90…001<28> = 100…01<15> =  29 × 101 × 281 × 121499449 >
100…01<49>/999…90…001<32> = 100…01<17> =  353 × 449 × 641 × 1409 × 69857
…………
111…11<12>/9901 = 11222211
111…11<24>/99990001 = 1111222222221111
111…11<36>/999999000001 = 111111222222222222111111<24>
111…11<48>/9999999900000001 = 11…2222…11<32>
111…11<60>/999…91…001<c20> = 11…2222…11<40>
111…11<72>/999…91…001<c24> = 11…2222…11<48>
111…11<84>/999…91…001<c28> = 11…2222…11<56>
111…11<96>/999…91…001<c32> = 11…2222…11<64>
…………
太阳先生在博贴《1+100^k-10^k必定是素数》之一中认定(10^a-1)/9若能被1+100^k-10^k整除，则1+100^k-10^k“必定是素数”，请问太阳先生除了上述前四式的分母是素数外，其余各式的分母1+100^k-10^k “也是素数”吗？

五、99…90…01型正整数可整除100^a-10^a+1型正整数
已知位数等于4、8、12、16的999…90…001型4正整数是素数，现对位数等于20、24、28……的999…90…001型正整数进行分解，仅取其中的位数等于20、40、60、80、100的各分解式粘贴于此：
合数999…001<20> = 61* 9901* 4188901* 39526741
合数999...001<40> = 99990001*100009999999899989999000000010001<p33>
合数999...001<60> = 181* 999999000001* 5524867403314917121546955801099447513812160221<c46>
合数999...001<80> = 1132716961*9999999900000001*8828330857844371944563819416490489012814384793166348641<c55>
合数999...001<100> = 61*9901*261301*3903901*4188901*39526741*39526741*168290119201*168290119201<p12>
*25074091038628125301<p20>*38654658795718156456729958859629701<p35>
= 999…91…001<c20>*261301*3903901*39526741*168290119201*168290119201<p12>
*25074091038628125301<p20>*38654658795718156456729958859629701<p35>
各个分解式中分别含有9901,99990001,999999000001,9999999900000001和999…91…001<c20>

太阳先生在博贴《1+100^k-10^k必定是素数》之二中认定1+100^a-10^a若能被1+100^k-10^k整除，则1+100^k-10^k“必定是素数”，在上述各式中，9901,99990001,999999000001都是1+100^a-10^a的素因子，它们能整除相应的1+100^a-10^a（分子）不必多说；只说合数99999999990000000001<20>也是1+100^a-10^a型合数99…91…01<100>的一个复合因子。
请相信，随着指数的不断增大，不仅素数9999999900000001<16>、合数99999999990000000001<20>可整除某些1+100^a-10^a（分子）外，合数999…90…0001<24>、合数999…90…001<28>也一定能整除某些1+100^a-10^a（分子），1+100^k-10^k“必定是素数”也肯定是错误的。
请太阳先生自己寻找这些“反例”吧！

太阳

1+100^k-10^k必定是素数，确实可以找到反例

太阳

yangchuanju

9901型素因子分布规律

已经知道99…01型素数有4个，它们分别是9901， 999900001， 999999000001， 9999999900000001。它们是清一色数111…11的素因子，也是100…01型正整数的素因子。
这几个99…01型素数在999…99和111…11数表中如何分布？或者说它们在(10^n-1)/9和10^n+1分解式表中各行分布？
经查阅(10^n-1)/9分解式数表，素数9901最早出现在(10^12-1)/9中，第二个9901出现在(10^36-1)/9中，随后10的指数每增加24，就又出现一次；
素数999900001最早出现在(10^24-1)/9中，以后10的指数每增加48出现一次， (10^72-1)/9、(10^120-1)/9、(10^168-1)/9……中都有素数99990001的身影；
类似的，素数9999990000001最早出现在(10^36-1)/9中，以后10的指数每增加72出现一次；
素数99999999000000001最早出现在(10^48-1)/9中，以后10的指数每增加96出现一次；
4素数在(10^n-1)/9分解式数表中分布十分规律。
4素数在10^n+1分解式数表中的分布也是十分规律的，只是10的指数分别为(10^n-1)/9分解式数表中指数的一半。即
素数9901最早出现在(10^6+1)中，以后10的指数每增加12出现一次；
素数99990001最早出现在(10^12+1)中，以后10的指数每增加24出现一次；
素数9999990000001最早出现在(10^18+1)中，以后10的指数每增加36出现一次；
素数99999999000000001最早出现在(10^24+1)中，以后10的指数每增加48出现一次。

与素因子9901、99990001分布类似，复合因子999…001<20>=61* 9901* 4188901* 39526741最早出现在(10^60-1)/9和(10^30+1)中，（这是素数9901的第3次出现），随后(10^n-1)/9的指数每增加120，(10^n+1)的指数每增加60，复合因子999…001<20>各出现一次；
复合因子999…001<40>=99990001*100009999999899989999000000010001<p33>最早出现在(10^120-1)/9和(10^60+1)中，（这是素数99990001的第3次出现），随后(10^n-1)/9的指数每增加240，(10^n+1)的指数每增加120，复合因子999…001<40>各出现一次；
复合因子999…001<60>=181* 999999000001* 4999437541453012143121<22>* 1105097795002994798105101<25>最早出现在(10^180-1)/9和(10^90+1)中，（这是素数999999000001的第3次出现），随后(10^n-1)/9的指数每增加360，(10^n+1)的指数每增加180，复合因子999…001<60>各出现一次；
复合因子999…001<80>=1132716961*9999999900000001*19721061166646717498359681<26>*31388506438433752927908678241<29>最早出现在(10^240-1)/9和(10^120+1)中，（这是素数9999999900000001的第3次出现），随后(10^n-1)/9的指数每增加480，(10^n+1)的指数每增加240，复合因子999…001<80>各出现一次.

在10^n+1分解式数表中，素数9901依次出现在n=6,18,30,42,54,66,78,90,102,114,126,138,150,162,174,186,198,210……中；
素数99990001依次出现在n=12,36,60,84,108,132,156,180,204,228,252,276,300……中；它俩不会同时出现在相同的指数中。
经查，素数9901可与素数999999000001同时出现在n=18,54等指数中。
另外的1#与4#，2#与3#，2#与4#，3#与4#素数也不会同时出现在相同的指数中。

另据分析，对10^n+1的99…01型因子（100^k-10^k+1型），素数9901最早在n=6中，它是一个独立的99…01型因子；
随后分别出现在n等于30,42,66,78中；在10^18+1,10^54+1的99…01型因子中都出现。
经查10^18+1 = 100…01<19> = 101 × 9901 × 999999000001<12>的99…01型因子是999999000001，9901不在算数；
10^54+1 = 100…01<55> = 101 × 109 × 9901 × 153469 × 999999000001<12> × 59779577156334533866654838281<29>的99…01型因子是109*153469*59779577156334533866654838281<29>=999…001<36>，9901和9999990000001都不再算数。

yangchuanju

太阳 发表于 2021-4-21 23:10

不可思议？
10^n+1=100…01，其中已知素数只有2个，即11和101。
在(10^n+1)/9之中含有除2和5以外的所有素因子，包括它们的任意次幂；10^n+1之中的素因子少一些。
太阳先生推出贴认为：(10^5k+1)/(10^k+1)中不含有平方因子，咋看起来问题并不复杂，把10^5k+1分解式中的10^k+1的因子约去，观察剩余因子即可。(10^5k+1)/(10^k+1)=10^4k-10^3k+10^2k-10^k+1

一、复制10^n+1分解表1，仅取指数为5和5的倍数的：
10^5+1 =  11 × 9091(100.00%)
10^10+1 =  101 × 3541 × 27961(100.00%)
10^15+1 =  7 × 11 × 13 × 211 × 241 × 2161 × 9091(100.00%)
10^20+1 =  73 × 137 × 1676321 × 5964848081<10>(100.00%)
10^25+1 =  11 × 251 × 5051 × 9091 × 78875943472201<14>(100.00%)
10^30+1 =  61 × 101 × 3541 × 9901 × 27961 × 4188901 × 39526741(100.00%)
10^35+1 =  11 × 9091 × 909091 × 4147571 × 265212793249617641<18>(100.00%)
10^40+1 =  17 × 5070721 × 5882353 × 19721061166646717498359681<26>(100.00%)
10^45+1 =  7 × 11 × 13 × 19 × 211 × 241 × 2161 × 9091 × 29611 × 52579 × 3762091 × 8985695684401<13>(100.00%)
10^50+1 =  101 × 3541 × 27961 × 60101 × 7019801 × 14103673319201<14> × 1680588011350901<16>(100.00%)
10^55+1 =  11^2 × 23 × 331 × 4093 × 5171 × 8779 × 9091 × 20163494891<11> × 318727841165674579776721<24>(100.00%)
10^60+1 =  73 × 137 × 1676321 × 99990001 × 5964848081<10> × 100009999999899989999000000010001<33>(100.00%)
10^65+1 =  11 × 131 × 859 × 9091 × 1058313049<10> × 8396862596258693901610602298557167100076327481<46>(100.00%)
10^70+1 =  29 × 101 × 281 × 421 × 3541 × 27961 × 3471301 × 13489841 × 121499449 × 60368344121<11> × 848654483879497562821<21>(100.00%)
10^75+1 =  7 × 11 × 13 × 211 × 241 × 251 × 2161 × 5051 × 9091 × 78875943472201<14> × 10000099999999989999899999000000000100001<41>(100.00%)
10^80+1 =  353 × 449 × 641 × 1409 × 69857 × 1634881 × 18453761 × 947147262401<12> × 349954396040122577928041596214187605761<39>(100.00%)
10^85+1 =  11 × 103 × 4013 × 9091 × 87211 × 787223761 × 21993833369<11> × 1602207948210144520667419183035809176643&#172;86555934641<51>(100.00%)
10^90+1 =  61 × 101 × 181 × 3541 × 9901 × 27961 × 4188901 × 39526741 × 999999000001<12> × 4999437541453012143121<22> × 1105097795002994798105101<25>100.00%)
10^95+1 =  11 × 9091 × 1812604116731<13> × 121450506296081<15> × 909090909090909091<18> × 4996731930447843676185843959746621491531&#172;100801<46>(100.00%)
10^100+1 =  73 × 137 × 401 × 1201 × 1601 × 1676321 × 5964848081<10> × 1296944190290577505513857711845642744990-75700947656757821537291527196801<72>(100.00%)

对应删除表中的部分因子
10^1+1 = 11 = 11(100.00%)
10^2+1 = 101 = 101(100.00%)
10^3+1 = 1001 = 7 × 11 × 13(100.00%)
10^4+1 = 10001 = 73 × 137(100.00%)
10^5+1 = 100001 = 11 × 9091(100.00%)
10^6+1 = 1000001 = 101 × 9901(100.00%)
10^7+1 = 10000001 = 11 × 909091(100.00%)
10^8+1 = 100000001 = 17 × 5882353(100.00%)
10^9+1 = 1000000001<10> = 7 × 11 × 13 × 19 × 52579(100.00%)
10^10+1 = 10000000001<11> = 101 × 3541 × 27961(100.00%)
10^11+1 = 100000000001<12> = 11^2 × 23 × 4093 × 8779(100.00%)
10^12+1 = 1000000000001<13> = 73 × 137 × 99990001(100.00%)
10^13+1 = 10000000000001<14> = 11 × 859 × 1058313049<10>&#8195;(100.00%)
10^14+1 = 100000000000001<15> = 29 × 101 × 281 × 121499449(100.00%)
10^15+1 = 1000000000000001<16> = 7 × 11 × 13 × 211 × 241 × 2161 × 9091(100.00%)
10^16+1 = 10000000000000001<17> = 353 × 449 × 641 × 1409 × 69857(100.00%)
10^17+1 = 100000000000000001<18> = 11 × 103 × 4013 × 21993833369<11>(100.00%)
10^18+1 = 1000000000000000001<19> = 101 × 9901 × 999999000001<12>(100.00%)
10^19+1 = 10000000000000000001<20> = 11 × 909090909090909091<18>(100.00%)
10^20+1 = 100000000000000000001<21> = 73 × 137 × 1676321 × 5964848081<10>(100.00%)

即得到：
(10^5+1)/(10^1+1) =  9091
(10^10+1)/(10^2+1) =  3541 × 27961  =  99009901
(10^15+1)/(10^3+1) =  211 × 241 × 2161 × 9091  =  999000999001
(10^20+1)/(10^4+1) =  1676321 × 5964848081<10>  =  9999000099990001
(10^25+1)/(10^5+1) =  251 × 5051 × 78875943472201<14>  =  99999000009999900001
(10^30+1)/(10^6+1) =  61 ×3541 × 27961 × 4188901 × 39526741  =  999999000000999999000001
(10^35+1)/(10^7+1) =  9091 × 4147571 × 265212793249617641<18>  =  9999999000000099999990000001
(10^40+1)/(10^8+1) =  5070721 × 19721061166646717498359681<26>  =  99999999000000009999999900000001
(10^45+1)/(10^9+1) =  211 × 241 × 2161 × 9091 × 29611 × 3762091 × 8985695684401<13>
(10^50+1)/(10^10+1) =  60101 × 7019801 × 14103673319201<14> × 1680588011350901<16>
(10^55+1)/(10^11+1) =  331 × 5171 × 9091 × 20163494891<11> × 318727841165674579776721<24>
(10^60+1)/(10^12+1) =  1676321 × 5964848081<10> × 100009999999899989999000000010001<33>
(10^65+1)/(10^13+1) =  131 × 9091 × 8396862596258693901610602298557167100076327481<46>
(10^70+1)/(10^14+1) =  421 × 3541 × 27961 × 3471301 × 13489841 × 60368344121<11> × 848654483879497562821<21>
(10^75+1)/(10^15+1) =  251 × 5051 × 78875943472201<14> × 1000009999999998999989999900000000010000&#172;1<41>
(10^80+1)/(10^16+1) =  1634881 × 18453761 × 947147262401<12> × 349954396040122577928041596214187605761<39>
(10^85+1)/(10^17+1) =  9091 × 87211 × 787223761 × 1602207948210144520667419183035809176643&#172;86555934641<51>
(10^90+1)/(10^18+1) =  61 × 181 × 3541 × 27961 × 4188901 × 39526741 × 4999437541453012143121<22> × 1105097795002994798105101<25>
(10^95+1)/(10^19+1) =  9091 × 1812604116731<13> × 121450506296081<15> × 4996731930447843676185843959746621491531&#172;100801<46>
(10^100+1)/(10^20+1) =  401 × 1201 × 1601 × 1296944190290577505513857711845642744990-75700947656757821537291527196801<72>
……

yangchuanju

二、统计分析
1、本部分数表中当指数为55和11时都含有11的平方因子，相除后被约去，属于正常；
2、剩余各因子相乘得9091,99009901,999000999001，……积的数字构成整齐划一。

3、在第1页分解式表中找不到平方因子，扩大查找范围继续找。
然而发现当10^n+1的指数是5k并含11的平方因子时，指数k的分解式中也含11的平方因子；
指数是5k并含11的立方因子时，指数k的分解式中也含11的立方因子；
指数是5k并含11的四次方因子时，指数k的分解式中也含11的四次方因子；……
相除后不再含有素数11的平方因子。
初步认为，素数11是一个特殊数，它的倒数循环节是2位，是10的约数。改换成其它素数就是了。

4、将检验素数换成7、13试验，所得结论与素数11 完全相同，素数7和13的都是循环节都是6位，不是10的约数，为什么也不行？
再将检验素数换成17、19和23，试验结果与11仍然相同，即
当10^n+1的指数是5k并含p的平方因子时，指数k的分解式中也含同一个p的平方因子；
指数是5k并含p的立方因子时，指数k的分解式中也含同一个p的立方因子；
指数是5k并含p的四次方因子时，指数k的分解式中也含同一个p的四次方因子；……
相除后找不到含有素数p平方因子的数字。
需要说明地是，笔者仅检验了有限的几个素数（11,7,13,17,19,23）；其它更多的素数怎么样？

太阳先生是否进行了理论证明？

yangchuanju

指数        7^2        指数        7^2        指数        7^2
21        72        6699        72        13335        72
63        72        6741        72        13419        72
105        72        6783        72        13461        72
189        72        6825        72        13503        72
231        72        6867        72        13545        72
273        72        6951        72        13587        72
315        72        6993        72        13629        72
357        72        7035        72        13713        72
399        72        7077        72        13755        72
483        72        7119        72        13797        72
525        72        7161        72        13839        72
567        72        7245        72        13881        72
609        72        7287        72        13923        72
651        72        7329        72        14007        72
693        72        7371        72        14049        72
777        72        7413        72        14091        72
819        72        7455        72        14133        72
861        72        7539        72        14175        72
903        72        7581        72        14217        72
945        72        7623        72        14301        72
987        72        7665        72        14343        72
1071        72        7707        72        14385        72
1113        72        7749        72        14427        72
1155        72        7833        72        14469        72
1197        72        7875        72        14511        72
1239        72        7917        72        14595        72
1281        72        7959        72        14637        72
1365        72        8001        72        14679        72
1407        72        8043        72        14721        72
1449        72        8127        72        14763        72
1491        72        8169        72        14805        72
1533        72        8211        72        14889        72
1575        72        8253        72        14931        72
1659        72        8295        72        14973        72
1701        72        8337        72        15015        72
1743        72        8421        72        15057        72
1785        72        8463        72        15099        72
1827        72        8505        72        15183        72
1869        72        8547        72        15225        72
1953        72        8589        72        15267        72
1995        72        8631        72        15309        72
2037        72        8715        72        15351        72
2079        72        8757        72        15393        72
2121        72        8799        72        15477        72
2163        72        8841        72        15519        72
2247        72        8883        72        15561        72
2289        72        8925        72        15603        72
2331        72        9009        72        15645        72
2373        72        9051        72        15687        72
2415        72        9093        72        15771        72
2457        72        9135        72        15813        72
2541        72        9177        72        15855        72
2583        72        9219        72        15897        72
2625        72        9303        72        15939        72
2667        72        9345        72        15981        72
2709        72        9387        72        16065        72
2751        72        9429        72        16107        72
2835        72        9471        72        16149        72
2877        72        9513        72        16191        72
2919        72        9597        72        16233        72
2961        72        9639        72        16275        72
3003        72        9681        72        16359        72
3045        72        9723        72        16401        72
3129        72        9765        72        16443        72
3171        72        9807        72        16485        72
3213        72        9891        72        16527        72
3255        72        9933        72        16569        72
3297        72        9975        72        16653        72
3339        72        10017        72        16695        72
3423        72        10059        72        16737        72
3465        72        10101        72        16779        72
3507        72        10185        72        16821        72
3549        72        10227        72        16863        72
3591        72        10269        72        16947        72
3633        72        10311        72        16989        72
3717        72        10353        72        17031        72
3759        72        10395        72        17073        72
3801        72        10479        72        17115        72
3843        72        10521        72        17157        72
3885        72        10563        72        17241        72
3927        72        10605        72        17283        72
4011        72        10647        72        17325        72
4053        72        10689        72        17367        72
4095        72        10773        72        17409        72
4137        72        10815        72        17451        72
4179        72        10857        72        17535        72
4221        72        10899        72        17577        72
4305        72        10941        72        17619        72
4347        72        10983        72        17661        72
4389        72        11067        72        17703        72
4431        72        11109        72        17745        72
4473        72        11151        72        17829        72
4515        72        11193        72        17871        72
4599        72        11235        72        17913        72
4641        72        11277        72        17955        72
4683        72        11361        72        17997        72
4725        72        11403        72        18039        72
4767        72        11445        72        18123        72
4809        72        11487        72        18165        72
4893        72        11529        72        18207        72
4935        72        11571        72        18249        72
4977        72        11655        72        18291        72
5019        72        11697        72        18333        72
5061        72        11739        72        18417        72
5103        72        11781        72        18459        72
5187        72        11823        72        18501        72
5229        72        11865        72        18543        72
5271        72        11949        72        18585        72
5313        72        11991        72        18627        72
5355        72        12033        72        18711        72
5397        72        12075        72        18753        72
5481        72        12117        72        18795        72
5523        72        12159        72        18837        72
5565        72        12243        72        18879        72
5607        72        12285        72        18921        72
5649        72        12327        72        19005        72
5691        72        12369        72        19047        72
5775        72        12411        72        19089        72
5817        72        12453        72        19131        72
5859        72        12537        72        19173        72
5901        72        12579        72        19215        72
5943        72        12621        72        19299        72
5985        72        12663        72        19341        72
6069        72        12705        72        19383        72
6111        72        12747        72        19425        72
6153        72        12831        72        19467        72
6195        72        12873        72        19509        72
6237        72        12915        72        19593        72
6279        72        12957        72        19635        72
6363        72        12999        72        19677        72
6405        72        13041        72        19719        72
6447        72        13125        72        19761        72
6489        72        13167        72        19803        72
6531        72        13209        72        19887        72
6573        72        13251        72        19929        72
6657        72        13293        72        19971        72

yangchuanju

指数        7^2        7^3        7^4
1029        72        73        74
3087        72        73        74
5145        72        73        74
7203        72        73        74
9261        72        73        74
11319        72        73        74
13377        72        73        74
15435        72        73        74
17493        72        73        74
19551        72        73        74
147        72        73       
441        72        73       
735        72        73       
1323        72        73       
1617        72        73       
1911        72        73       
2205        72        73       
2499        72        73       
2793        72        73       
3381        72        73       
3675        72        73       
3969        72        73       
4263        72        73       
4557        72        73       
4851        72        73       
5439        72        73       
5733        72        73       
6027        72        73       
6321        72        73       
6615        72        73       
6909        72        73       
7497        72        73       
7791        72        73       
8085        72        73       
8379        72        73       
8673        72        73       
8967        72        73       
9555        72        73       
9849        72        73       
10143        72        73       
10437        72        73       
10731        72        73       
11025        72        73       
11613        72        73       
11907        72        73       
12201        72        73       
12495        72        73       
12789        72        73       
13083        72        73       
13671        72        73       
13965        72        73       
14259        72        73       
14553        72        73       
14847        72        73       
15141        72        73       
15729        72        73       
16023        72        73       
16317        72        73       
16611        72        73       
16905        72        73       
17199        72        73       
17787        72        73       
18081        72        73       
18375        72        73       
18669        72        73       
18963        72        73       
19257        72        73       
19845        72        73       

yangchuanju

太阳 发表于 2021-4-21 23:10

太阳先生还是错了吧？
观察《不可思议？》贴，从相除后剩余因子表看，不仅没有某素数的平方因子，而且根本没有7、11、13、17、19、23等素因子，该表中的最小素因子是61，于是我从素数61着手重新检索。
素因子61最早出现在（10^n+1）分解式数表的n=30、90、150、210……处，在n=1830、5490、9150、12810……处先后出现了61的平方因子；除9150/5=1830，在9150和1830处各有一个61的平方因子外，在1830/5=366、5490/5=1098、12810/5=2562处都没有素因子61。

下面是10^1830+1、10^366+1和(10^1830+1) / (10^366+1)分解式表：
10^1830+1 = 1000000000...<1831> = 61^2 × 101 × 3541 × 6101 × 7321 × 9901 × 21961 × 27961 × 51241 × 76129 × 190321 × 390889 × 1587221 × 4188901 × 4801921 × 9818561 × 39526741 × 2834820061<10> × 3812801341<10> × 81183810541<11> × 217345835281<12> × 555818110301<12> × 28474644365651641<17> × 8950221294967070861<19> × 17751033585336286181<20> × 17716886277230798340041<23> × 2418666002101476599410229029<28> × 101444162656037151745878558385892753596849<42> × 30177150878514090521547663054628235944221777770161<50> × 39069669288697789469488625615834711944836425801981<50> × 27186363592392725942593454290345801336551729326489701011779461<62> × 75743388768260974116327848920184337528059461788181539337429709<62> × 29396948928240214513043372181142292774711501573237257023101752921<65> × 1305704182448226909845888790598975114740359397093421223355030629345156521<73> × 1087990925195463452802538049940594096989130726971208253428665898558089768698552971751226781442226809<100> × 1642269048916396301246801744101379821902073519810571143520576971928815724659633161556699837755221303434764527770131486856721570324295821<136> × [8763343328...<474>] × 2529932837...<481>(74.10%) （37个素因子）

10^366+1 = 1000000000...<367> = 101 × 9901 × 76129 × 190321 × 390889 × 1587221 × 4801921 × 2834820061<10> × 3812801341<10> × 81183810541<11> × 2418666002101476599410229029<28> × 101444162656037151745878558385892753596849<42> × 75743388768260974116327848920184337528059461788181539337429709<62> × 1305704182448226909845888790598975114740359397093421223355030629345156521<73> × 1087990925195463452802538049940594096989130726971208253428665898558089768698552971751226781442226809<100>(100.00%)  (15个素因子)

（10^1830+1）/（10^366+1） =  61^2  × 3541 × 6101 × 7321 × 21961 × 27961 × 51241 × 4188901 × 9818561 × 39526741 × 217345835281<12> × 555818110301<12> × 28474644365651641<17> × 8950221294967070861<19> × 17751033585336286181<20> × 17716886277230798340041<23>  × 30177150878514090521547663054628235944221777770161<50> × 39069669288697789469488625615834711944836425801981<50> × 27186363592392725942593454290345801336551729326489701011779461<62> × 29396948928240214513043372181142292774711501573237257023101752921<65> × 1642269048916396301246801744101379821902073519810571143520576971928815724659633161556699837755221303434764527770131486856721570324295821<136> × [8763343328...<474>] × 2529932837...<481>(74.10%) （22个素因子）
对于素数131、181、211、241、251等也一定存在它们的平方因子！
有平方因子的最小素数是谁？有多少个素数没有平方因子，或者没有因子？待进一步探讨！

yangchuanju

注意到了吗？《不可思议》贴中的剩余各因子末尾数全是1，这里剩余的因子末尾数也全是1！为什么？仍然是不可思议的。