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试证:∫(π/3,π/6)ln(tanx)dx=0

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发表于 2021-4-23 05:59 | 显示全部楼层 |阅读模式
题:试证 \(\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\ln(\tan{x})dx=0\)
发表于 2021-4-24 16:45 | 显示全部楼层
\[\begin{aligned}
&\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\ln (\tan x)\mathrm{d}x\\
=&\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\ln(\tan x)\mathrm{d}x+\underbrace{\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}\ln(\tan x)\mathrm{d}x}_{x\mapsto \frac{\pi}{2}-x}\\
=&\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\ln(\tan x)\mathrm{d}x+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{6}}\ln(\tan (\frac{\pi}{2}-x))\mathrm{d}(\frac{\pi}{2}-x)\\
=&0
\end{aligned}\]
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发表于 2021-4-24 17:51 | 显示全部楼层
楼上 zeta2 的解答很好!已收藏。
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