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0绪论：在数学理论建立过程中存在著三次数学危机，二十世纪数学家提出了涉及ZFC形式公理体系的各种数学模型，但它们之间存在着许多矛盾与“怪”定理。笔者经过七十年的研究之后，提出了“①数学理论研究的基本原则是描述与解决现实数量大小及其关系的科学；②数学理论的阐述，不能单靠形式逻辑，还需要使用：理论与实践、理想与现实、精确与近似、无限与有限、零与非零足够小、形与数、直与曲之间的对立统一、分工合作的唯物辩证法进行阐述”（即需要建立“唯物辩证法的数学模型”）。下边简述一下使用唯物辩证法解决这三次数学危机的方法。
一，自然数与自然数集合的概念：三次数学危机都涉及无穷的概念。为此，首先简要叙述一下自然数与自然数集合的概念问题。
定义1，空集这个术语，表示没有元素的想象性集合；由确定个数的确定事物为元素组成的整体，叫做现实的正常集合。其中的术语“元素个数”具有忽略现实集合各个元素性质与大小差别的意义，元素个数多少的表达符号叫做理想自然数（简称为自然数）。
定理1数学理论中的基本定理（自然数的两个重要性质）： ①在不受时间限制的理想条件下，任意大确定的自然数都是能够被人们写出的有限自然数；②全体（或称所有）自然数是人们永远无法写完其所有元素的想象性质的、理想性质的、非现实存在的理想自然数集合（简称为自然数集合）。
现行教科书中称 N={0，1，2，3，……，n,n+1,……}为包含所有自然数的无穷集合。 那么，无穷是什么意思？这个符号中最后的省略号是什么意思呢？都需要使用唯物辩证法进行解说。根据毛泽东“对立统一的法则是唯物辩证法的最根本的法则”、“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”的论述。应当知道：无穷与有穷是相互对立的统一体。所以应当提出：这个无穷集合是以自然数有穷集合为项的无穷序列
{0，1}，{0，1，2}，……，{0，1，2，……，n},…… （1）
的广义趋向性极限事物。这就说明：N中 最后的省略号具有无限延续下去的意义；由于序列（1）中各个集合的元素个数为无穷数列{n+1}，这个数列的广义极限为+∞，所以这个自然数集合N的元素个数可以说是+∞。由于符号+∞ 叫做无穷大或无穷多，所以这个N也叫无穷集合。关于这个符号+∞，还需要知道：它是华东师大《数学分析》上册1980年版80 页中讲的“非正常（或称广义）极限[9]”性质的“非正常实数”。事实上，自然数集合N还可以看作如下的有穷集合为项的序列
{0，1，2，……，9}，{0，1，2，……，19}，……，{0，1，2，……，10n-1}, ……(2)
{0，1}，{0，1，2，3，4},……，{0，1，2，……， },……（3）
由于序列（2）中各个集合的元素个数为无穷数列{10n}，序列（3）中各个集合的元素个数为无穷数列 ，这两元素个数列的广义极限也是+∞，但根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷一分册整序变量的计算不定式 ,定值法，不定式可以使用∞与0的取极限之前变数计算不定式的值。所以上述三个+∞ 表示的多少是不相同的：（2）式表示的比（1）式表示的元素个数多，（3）式表示的比（1）（2）式都多。但也可以说：这个不同只是趋向于+∞的快慢不同；对于+∞这个符号，应当知道：它既可以被看作是大于一切有限数的数，又需要被看作不是正常数，因为它不能表示任何正常的、现实的已经构造完成了的集合的元素个数。所以应当提出如下的定义，
定义2：元素个数为有限自然数的正常集合叫做有穷集合；若有穷集合为项的无穷序列的元素个数序列的趋向性广义极限为+∞，则称：这种有穷集合为项的无穷序列的趋向性极限性事物为元素个数为+∞的无穷集合；且称无穷集合是非正常集合。
根据这个定义，自然数集合的元素个数就不是康托尔提出的无穷基数 ，这样消除了第三次数学危机中的，康托尔悖论，也康托尔的连续统假设的大难题与。 由于正产集合有无穷多，自然数集合是非正常集合，所以也消除了罗素悖论。
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发表于 2021-5-13 01:47
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