一道有趣的题。为什么要在证明极大值的过程中引入行列式？（问题已解决）

wufaxian

上面是题干
下面是答案


主要是针对第二问；为什么要引入行列式n？我在geogebra中验证了一下。n=-2i+2j 。如果把他看作一个向量(-2,2,0) 他确实平行于x=-2t+10 和 y=2t+10 交点形成的直线（随着t变化，交点会在xy平面移动，行政一条直线）。同时向量(-2,2,0)也平行于平面x+y+z=40 与平面 x+y-z=0的交线

我的问题：
1、引入行列式n的目的是什么？为什么用Δg1 和Δ g2 来构建行列式n
2、在这里强调n=-2i+2j 平行于x=-2t+10 和 y=2t+10 交点形成的直线，是想说明什么？
3、w在平面x+y+z=40 与平面 x+y-z=0的交线上最大值的问题，为什么最后变成了w=xyz=(-2t+10)(2t+10)20 的极值问题？？

wufaxian

x=-2t+10 y=2t+10 z=20的参数直线。这条直线实际就是两平面相交的直线
题目第二问通过求两个平面梯度的叉积（行列式）。求出了两个直线交线的参数方程。也就是上面粗字体。将这个参数方程代入w=xyz得到一个开口向下的二次方程。说明他在该点得到最大值

想象一下，函数w=xyz 在三维空间中任意移动。在每一个空间坐标点xyz，都会取到一个对应的w值。理论上w是没有最大值的。但是如果将其移动范围限定在x+y+z=40 和x+y-z=0 这两平面相交的直线上面。那么其活动范围就被限定了。我们只需找出这条直线的方程。代入w=xyz  。就得到了函数w 的xyz这三坐标在直线上运动对应的w值。这个w在直线上运动的方程的表达式就是(-2t+10)(2t+10)(20)。