举一个积分次序不可交换的例子

wufaxian

上图是12.1题目
下图是答案


请问为什么不能求出积分？我觉得至少理论上可以求出啊。如果无法求出积分。fubini‘s定理还有什么用啊

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

luyuanhong

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wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-6-19 10:57
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

谢谢lu老师的详细回复。不过数学分析超过了目前我所阅读的托马斯微积分的范畴。我一时难以完全理解。但是你的第二篇回复还是给了我一些启发。即关键点出现在两个无穷小。请问这是否属于我另一个帖子中所提到的“广义累次积分”的知识范畴？http://www.mathchina.com/bbs/for ... =2046502&extra=

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-6-19 07:54
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

关于第一帖的回复：谢谢lu老师提供的这个例子。我重新看了一下刚学过的知识。用不太严谨但形象的语言复述一下我的理解。如果哪里理解错了还请您指正

将xy平面上一定区域上的小面积s上的柱形体积累加起来。当小面积s趋近无穷小时。累加的极限是“f在R上的重积分”。
Fubini定理的存在使我们可以用累次积分这种方法来求“重积分”。
但是fubini定理有个前提条件。请看下方截图中的红线

我将你第一个帖子的函数在geogebra中画了个图。下方截图是从z轴上方的俯视图。红轴是x轴。黑绿相间轴是y轴。


从图中可以看出该立体结构在矩形区域内与y轴投影相交，在矩形区域内与x轴不相交。从几何角度看这是不是就违反了fubini定理的前提条件？ 因而导致二重积分没有确定值。

我看的书没有对fubini定理进行严格的数学证明。但是却进行了形象的几何描述。所谓二次积分。就是找一个方向（比如平行于x轴方向）先切片，并计算切片的面积表达式，即进行一次积分。然后再沿另一个垂直方向（平行于y轴方向）累加所有切片的面积，得到立体结构的体积。即二次积分。这听起来很符合直觉和生活经验。
无论什么形状的面包。我只要沿某个方向先切薄片片，并求出每片的面积，然后再累加。就可以求出面包的体积。这似乎不涉及fubini定理的前提条件-----f在矩形区域内必须连续。 把你例子：(y-x)/((x+y)^(3)) 想象成一块面包。无论他在矩形内是否连续。无论从哪个方向切片求得面积，再累加面积的方法似乎都应该能求出面包的确定体积。所以切面包求体积为什么要符合fubini定理的前提条件呢？


你通过分别用不同次序求二重积分证明了，从不同角度切片，确实可以得到不同的数值结果。但是从几何角度是否可以比较直观的说明为什么会存在这种不同的“所谓体积”数值么？

luyuanhong

luyuanhong