101 位数的前、后 50 位分别是 8、9，中间那个数等于几才能使该数为 7 的倍数？...

天山草@

一个 101 位的正整数，它的前 50 位都是 8，后 50 位都是 9。中间那个数字未知。

问:

(1) 中间那个数字等于几时，这个 101 位数能被 7 整除？


(2) 中间那个数字等于几时，这个 101 位数能被 11 整除？


(3) 中间那个数字等于几时，这个 101 位数能被 13 整除？

ysr

这个题目很有趣，可以用逐段分析法：首先看前50位，都是8，由于8除以7余数为1，所以，余数等同于50个1组成的数除以7的余数，由于111111/7=15873，所以，等同于去掉48个1，剩下2个1，就是11/7的余数为4，同理，末尾的50个9组成的数除以7的余数为8或者说是1，若想101位数能被7整除则前51位数除以7的余数必须为6，48/7的余数为6，6后面再多的9最后除以7的余数仍然是6，不行，如果9前面的余数为0，由于999999/7=142857，后面9的位数必须是6的整数倍，50不行。
如果9前面的余数为3，则有399/7=57，50位去掉2位还有48位，48能被6整除的，所以9前面的余数为3，而45/7余数为3.
所以，答案是5.

ysr

程序验证：88888888888888888888888888888888888888888888888888/7=12698412698412698412698412698412698412698412698412/余数4.

99999999999999999999999999999999999999999999999999/7=14285714285714285714285714285714285714285714285714/余数1.
399999999999999999999999999999999999999999999999999/7=57142857142857142857142857142857142857142857142857.

88888888888888888888888888888888888888888888888888599999999999999999999999999999999999999999999999999（注意：中间的数字为5）/7=

12698412698412698412698412698412698412698412698412657142857142857142857142857142857142857142857142857

ysr

88888888888888888888888888888888888888888888888888399999999999999999999999999999999999999999999999999（注意：中间是3）/7=
12698412698412698412698412698412698412698412698412628571428571428571428571428571428571428571428571428/余数是3.

88888888888888888888888888888888888888888888888888899999999999999999999999999999999999999999999999999（注意：中间是8）/7=

12698412698412698412698412698412698412698412698412699999999999999999999999999999999999999999999999999/余数是6.

ysr

还有两问呢，第二问：中间为何值，能被11整除？
  先看前50位，都是8，所以能被11整除，后面的9也能被11整除，所以，中间就是个0.
第三问，中间是几，能被13整除？
前面50位除以13的余数是10，106/13余数是2,299999999（8个9）/13余数是0，99……99（42个9）/13余数是0,42/12余数是6，299/13=23，999999/13=76923. 9999/13余数是2,42/12余数是6，经过验证，中间的数字是6，就是答案是6.

ysr

88888888888888888888888888888888888888888888888888099999999999999999999999999999999999999999999999999（中间是0）/11=
8080808080808080808080808080808080808080808080808009090909090909090909090909090909090909090909090909.
88888888888888888888888888888888888888888888888888699999999999999999999999999999999999999999999999999（中间是6）/13=
6837606837606837606837606837606837606837606837606823076923076923076923076923076923076923076923076923.

ysr

如何不必算大数据就可以得到50个8除以13的余数呢？由于88/13=6/余数是10，所以相当于25个10组成的数除以13的余数，而5个10除以13余数是9,10个10除以13余数是10,15个10除以13余数是0，所以，25个10除以13余数是10.
6个10组成的数除以13余数是0，即101010101010/13=7770007770.

101010/13=7770.   而10101=3*7*13*37，而3*37=111.

Ysu2008

除以 100 以内素数列表：

除以 2 :
夹 0    余 1
夹 1    余 1
夹 2    余 1
夹 3    余 1
夹 4    余 1
夹 5    余 1
夹 6    余 1
夹 7    余 1
夹 8    余 1
夹 9    余 1

除以 3 :
夹 0    余 1
夹 1    余 2
夹 2    余 0    整除!
夹 3    余 1
夹 4    余 2
夹 5    余 0    整除!
夹 6    余 1
夹 7    余 2
夹 8    余 0    整除!
夹 9    余 1

除以 5 :
夹 0    余 4
夹 1    余 4
夹 2    余 4
夹 3    余 4
夹 4    余 4
夹 5    余 4
夹 6    余 4
夹 7    余 4
夹 8    余 4
夹 9    余 4

除以 7 :
夹 0    余 4
夹 1    余 6
夹 2    余 1
夹 3    余 3
夹 4    余 5
夹 5    余 0    整除!
夹 6    余 2
夹 7    余 4
夹 8    余 6
夹 9    余 1

除以 11 :
夹 0    余 0    整除!
夹 1    余 1
夹 2    余 2
夹 3    余 3
夹 4    余 4
夹 5    余 5
夹 6    余 6
夹 7    余 7
夹 8    余 8
夹 9    余 9

除以 13 :
夹 0    余 11
夹 1    余 7
夹 2    余 3
夹 3    余 12
夹 4    余 8
夹 5    余 4
夹 6    余 0    整除!
夹 7    余 9
夹 8    余 5
夹 9    余 1

除以 17 :
夹 0    余 5
夹 1    余 3
夹 2    余 1
夹 3    余 16
夹 4    余 14
夹 5    余 12
夹 6    余 10
夹 7    余 8
夹 8    余 6
夹 9    余 4

除以 19 :
夹 0    余 14
夹 1    余 11
夹 2    余 8
夹 3    余 5
夹 4    余 2
夹 5    余 18
夹 6    余 15
夹 7    余 12
夹 8    余 9
夹 9    余 6

除以 23 :
夹 0    余 11
夹 1    余 17
夹 2    余 0    整除!
夹 3    余 6
夹 4    余 12
夹 5    余 18
夹 6    余 1
夹 7    余 7
夹 8    余 13
夹 9    余 19

除以 29 :
夹 0    余 13
夹 1    余 17
夹 2    余 21
夹 3    余 25
夹 4    余 0    整除!
夹 5    余 4
夹 6    余 8
夹 7    余 12
夹 8    余 16
夹 9    余 20

除以 31 :
夹 0    余 15
夹 1    余 9
夹 2    余 3
夹 3    余 28
夹 4    余 22
夹 5    余 16
夹 6    余 10
夹 7    余 4
夹 8    余 29
夹 9    余 23

除以 37 :
夹 0    余 2
夹 1    余 28
夹 2    余 17
夹 3    余 6
夹 4    余 32
夹 5    余 21
夹 6    余 10
夹 7    余 36
夹 8    余 25
夹 9    余 14

除以 41 :
夹 0    余 0    整除!
夹 1    余 1
夹 2    余 2
夹 3    余 3
夹 4    余 4
夹 5    余 5
夹 6    余 6
夹 7    余 7
夹 8    余 8
夹 9    余 9

除以 43 :
夹 0    余 21
夹 1    余 38
夹 2    余 12
夹 3    余 29
夹 4    余 3
夹 5    余 20
夹 6    余 37
夹 7    余 11
夹 8    余 28
夹 9    余 2

除以 47 :
夹 0    余 2
夹 1    余 38
夹 2    余 27
夹 3    余 16
夹 4    余 5
夹 5    余 41
夹 6    余 30
夹 7    余 19
夹 8    余 8
夹 9    余 44

除以 53 :
夹 0    余 48
夹 1    余 39
夹 2    余 30
夹 3    余 21
夹 4    余 12
夹 5    余 3
夹 6    余 47
夹 7    余 38
夹 8    余 29
夹 9    余 20

除以 59 :
夹 0    余 31
夹 1    余 35
夹 2    余 39
夹 3    余 43
夹 4    余 47
夹 5    余 51
夹 6    余 55
夹 7    余 0    整除!
夹 8    余 4
夹 9    余 8

除以 61 :
夹 0    余 11
夹 1    余 59
夹 2    余 46
夹 3    余 33
夹 4    余 20
夹 5    余 7
夹 6    余 55
夹 7    余 42
夹 8    余 29
夹 9    余 16

除以 67 :
夹 0    余 56
夹 1    余 44
夹 2    余 32
夹 3    余 20
夹 4    余 8
夹 5    余 63
夹 6    余 51
夹 7    余 39
夹 8    余 27
夹 9    余 15

除以 71 :
夹 0    余 19
夹 1    余 56
夹 2    余 22
夹 3    余 59
夹 4    余 25
夹 5    余 62
夹 6    余 28
夹 7    余 65
夹 8    余 31
夹 9    余 68

除以 73 :
夹 0    余 61
夹 1    余 15
夹 2    余 42
夹 3    余 69
夹 4    余 23
夹 5    余 50
夹 6    余 4
夹 7    余 31
夹 8    余 58
夹 9    余 12

除以 79 :
夹 0    余 37
夹 1    余 22
夹 2    余 7
夹 3    余 71
夹 4    余 56
夹 5    余 41
夹 6    余 26
夹 7    余 11
夹 8    余 75
夹 9    余 60

除以 83 :
夹 0    余 47
夹 1    余 28
夹 2    余 9
夹 3    余 73
夹 4    余 54
夹 5    余 35
夹 6    余 16
夹 7    余 80
夹 8    余 61
夹 9    余 42

除以 89 :
夹 0    余 64
夹 1    余 60
夹 2    余 56
夹 3    余 52
夹 4    余 48
夹 5    余 44
夹 6    余 40
夹 7    余 36
夹 8    余 32
夹 9    余 28

除以 97 :
夹 0    余 38
夹 1    余 35
夹 2    余 32
夹 3    余 29
夹 4    余 26
夹 5    余 23
夹 6    余 20
夹 7    余 17
夹 8    余 14
夹 9    余 11

天山草@

此题为小学奥数题。

用所谓  1001  法做比较有趣。由于  7×11×13=1001，因此，1001，10010，100100，1001000，……这些数都能被 7、11、13 整除。

同样，2002，20020，200200，2002000，……
          3003，30030，300300，3003000，……
          4004，40040，400400，4004000，……
            ………………………………………………
          9009，90090，900900，9009000，……
上面这些数也都能被 7、11、13 整除。

我们看一看  999999  这个数能否被 7、11、13 整除。从 999999 中减去 900900 得 99099，再减去 90090 最终得 9009，它能被 7、11、13 整除，所以我们断定 999999 也能被 7、11、13 整除。

因为 999999 是一个六位数，所以 12 个 9、18 个 9、24 个 9、……、48 个 9 都能被 7、11、13 整除。

同样理由，可知 48 个 8 能被 7、11、13 整除。

若题中的 101 位数是
N=8888888888 8888888888 8888888888 8888888888 8888888888 ×10^51
     + A×10^50 + 99999999999999999999999999999999999999999999999999。

上式中有 50 个 8 和 50 个 9，中间有一个未知的一位数 A。

从 N 中减去 n1+n2，其中 n1=8888888888 8888888888 8888888888 8888888888 8888888800 ×10^51，共 48 个 8、53 个 0。

n2=999999999999999999999999999999999999999999999999，共 48 个 9。

由前面的论证可知  n1 和 n2 都能被 7、11、13 整除，所以 n1+n2 也能。

M = N- n1 - n2 = 88A99×10^48，如果  88A99 能被 7、11、13 整除，那么 M 也能。从 88A99 中减去 8008 得 8A19，继续减去 8008 得 A11。

因此，原题等价于 A 分别等于几时 A11 能分别被 7、11、13 整除？

用尝试法可知当 A=5、0、6 时 511、011、611 可分别被 7、11、13 整除。

ysr

天山草@ 发表于 2021-6-21 11:55
此题为小学奥数题。

用所谓  1001  法做比较有趣。由于  7×11×13=1001，因此，1001，10010，100100，1 ...

老师的解答，简便清楚，非常精彩！学习了！