V 是 n 维线性空间，A：V→V 是线性映射，有 ρ(A^2)=ρ(A)，证明：Im(A)∩Ker(A)={0}

wilsony · 发表于 2021-6-23 17:53

谁能证明？

djhdyw · 发表于 2021-6-23 22:44

证明（简单分析）：
（1）线性变换A的秩为0、n时，是明显的。
（2）假设线性变换A的秩为r，1<=r<=n-1, 设e1，e2，...，en为V的一直基，不防设Im（A）=L（Aei1，Aei2，...，Aeir），由条件Im（A^2）=Im（A)=L（Aei1，Aei2，...，Aeir）, A（Aei1），A（Aei2），...，A（Aeir）线性无关，因而将A限制在子空间Im（A)上，A|Im（A)将是一个可逆变换，因而易知Im（A）nKer(A)={0}.

djhdyw · 发表于 2021-6-23 22:51

e1,e2,...,en是v的一组基。

wilsony · 发表于 2021-6-24 20:09

djhdyw,解答太简略了。陆老师能给出解答吗？

djhdyw · 发表于 2021-6-25 12:12

较为详细的证明过程见图片

djhdyw · 发表于 2021-6-25 12:13

希望能对你有所帮助。

liangchuxu · 发表于 2021-6-25 14:46

本帖最后由 liangchuxu 于 2021-6-25 14:56 编辑

从两空间直和考虑，供参考。

wilsony · 发表于 2021-6-25 14:52

谢谢djhdyw和liangchuxu。

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V 是 n 维线性空间，A：V→V 是线性映射，有 ρ(A^2)=ρ(A)，证明：Im(A)∩Ker(A)={0}

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