我的积分上下限选取错在哪里了？

wufaxian

请看上面这道题，将普通二重积分转变成极坐标系的二重积分，请注意上图红线部分的积分上下限。
下图是积分区域


我在做题的时候选择的积分上下限（图1红线部分）下限2cos西塔，上限是2。其实我明白答案是对的。但是我不知道我错在哪里了。想象一下r从西塔=pi/2开始做顺时针转动。不就是对应我给出的积分上下限么？所以我错在哪里了？自己想不明白。

luyuanhong

你从原点出发，作一条与 x 轴正方向夹角为 θ 的射线，可以看到，这条射线与阴影区域相交的部分，

起点是 r=0 ，终点是 r=2cosθ ，所以，对 r 积分时，积分下限是 0 ，积分上限是 2cosθ 。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-6-27 17:34
你从原点出发，作一条与 x 轴正方向夹角为 θ 的射线，可以看到，这条射线与阴影区域相交的部分，

起点 ...

明白了。所以所有极坐标下考虑积分上下限的问题都按照最小值当起点，然后写出终点的表达式作为上限就不会错了，对吧？

luyuanhong

wufaxian 发表于 2021-6-27 19:47
明白了。所以所有极坐标下考虑积分上下限的问题都按照最小值当起点，然后写出终点的表达式作为上限就不会 ...

注意：对 r 积分时，积分下限并不一定是“按照最小值当起点”，而是要作一条与 x 轴正方向夹角为 θ 的射线，

看看射线与要求面积的区域相交的部分，起点在哪里，终点在哪里，起点就是积分下限，终点就是积分上限。

请看下面的例子：

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-6-27 22:17
注意：对 r 积分时，积分下限并不一定是“按照最小值当起点”，而是要作一条与 x 轴正方向夹角为 θ 的 ...

谢谢lu老师这个例子太棒了。一通百通。
但是有的题不太容易手绘出积分区域。（如果有电脑绘图当然没有任何障碍了）。这种题目如何找出积分上下限。有什么技巧么？