在 ΔABC 中，AB=BC，D 是 BC 中点，I 为内心，H 为垂心，IH=ID，求 AD/HD

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432 請問幾何

kanyikan

初步计算cos∠B=2/3，AD/HD=(tan∠B)^2=5/4

王守恩

kanyikan 发表于 2021-6-27 22:46
初步计算cos∠B=2/3，AD/HD=(tan∠B)^2=5/4

补充一下。
\(记∠ABD=2\theta=∠BHD\ \ \ 则\)
\(\ \ AD=\sin(2\theta)\)
\(\ \ BD=\cos(2\theta)\)
\(\ \ \ ID=\cos(2\theta)\tan(\theta)\)
\(\ HD=\frac{\cos^2(2\theta)}{\sin(2\theta)}\)
\(\displaystyle\frac{AD}{HD}=\frac{\sin(2\theta)}{2\cos(2\theta)\tan(\theta)}=\frac{\sin^2(2\theta)}{\cos^2(2\theta)}=\frac{5}{4}\)