已知 AB=2，D 是 AB 中点，∠CDA=60°，E 在 CB 上，∠CAE=∠CBA，求 AE 的最小值

FGNBGHJUOI

可以求过程和答案么 ，这道题有几何代数式的解法么

FGNBGHJUOI

有大师可以帮帮么

王守恩

\(当∠EAB=∠EBA=30°时，AE 最小值=\sqrt{\frac{4}{3}}\)

FGNBGHJUOI

王守恩 发表于 2021-6-28 19:41
\(当∠EAB=∠EBA=30°时，AE 最小值=\sqrt{\frac{4}{3}}\)

怎么证明的，可以说一下嘛

王守恩

FGNBGHJUOI 发表于 2021-6-28 20:54
怎么证明的，可以说一下嘛

ADEC是圆内接四边形。

FGNBGHJUOI

王守恩 发表于 2021-6-29 10:31
ADEC是圆内接四边形。

感觉不对吧，如果ADEC是圆内接四边形，那么∠CEA=∠CDA=60°，∠CAD=∠CEA=∠CAD=60°是矛盾的，∠CAD的角度是变化的

王守恩

FGNBGHJUOI 发表于 2021-6-29 14:22
感觉不对吧，如果ADEC是圆内接四边形，那么∠CEA=∠CDA=60°，∠CAD=∠CEA=∠CAD=60°是矛盾的，∠CAD ...

你这个图没画好，AE取得最小值时ACD是正三角形。

FGNBGHJUOI

王守恩 发表于 2021-6-29 20:19
你这个图没画好，ACD是正三角形。

C是动点，不是固定的点

FGNBGHJUOI

王守恩 发表于 2021-6-29 20:43
你这个图没画好，AE取得最小值时ACD是正三角形。

好的

王守恩

FGNBGHJUOI 发表于 2021-6-29 21:04
好的

\(记∠CAE=∠CBA=a，交叉处=b\)

NMinimize[\(AE,\frac{AE}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(a + b -\pi/3)},\frac{AC}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(2 a + b -\pi/3)},\frac{AC}{\sin(\pi/3)}=\frac{1}{\sin(a + b)}\)]
{1.1547, {AE -> 1.1547, AC -> 1., a -> 0.523599, b -> 1.5708}}

NSolve[\(\frac{AE}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(a +\pi/2 -\pi/3)},\frac{AC}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(2 a +\pi/2 -\pi/3)},\frac{AC}{\sin(\pi/3)}=\frac{1}{\sin(a +\pi/2)}\)]
{{AE -> 1.1547, AC -> 1., a -> 0.523599}}

Solve[\(\frac{AE}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(a +\pi/2 -\pi/3)},\frac{AC}{\sin(a)}=\frac{2}{\sin(2 a +\pi/2 -\pi/3)},\frac{AC}{\sin(\pi/3)}=\frac{1}{\sin(a +\pi/2)}\)]
{{AE -> 2/Sqrt[3], AC -> 1, a -> \[Pi]/6}}

Solve[\(\frac{AE}{\sin(\pi/6)}=\frac{2}{\sin(\pi/3)}\)]
{{AE -> 2/Sqrt[3]}}