初等数学与高等数学

luyuanhong

初等数学与高等数学

来源 | 选自《数学——科学和职业》，[俄]柯尔莫戈洛夫著，姚芳、刘岩瑜、吴帆编译，大连理工大学出版社，2021.3.



笛卡尔的变量（数学)是 数学中的转折。由于有了变化，运动和辩证法进入数学之中并且微积分很快建立。

只有微分计算使自然科学不仅可以用数学刻画位置，而且可以描述过程：运动。

——恩格斯，《自然辩证法》

恩格斯的这段话所提到的数学中的转折发生于17世纪，那时，建立了数学科学的基础。这一转折的意义是伟大的，直到现代，由于这一转折而形成的数学分支——被称为《高等数学》，它区别于早些时候形成的《初等数学》。

高等数学中的一些基础概念已经进入到现代中学大纲之中，包括基本的实变量之间的函数关系和一些极限理论中的知识。在自然科学和技术中有着重要数学应用的微积分计算也已经是中学大纲范围的内容了。

在中学数学中，一般很少选择极限基础上的微积分初步，因为，一般来说，他们学习的材料需要进行选择，要符合经过一个比较短的引入性的解释之后马上用于解一些独立习题的需要，微积分初步的学习又需要比较长的系统学习。一方面，微积分方法的本质和意义不是我们所认为的那样。但是，另一方面，微积分方法的作用和它的本质在于，如果不理解它，就不可能体会到数学对于自然科学和技术科学的所有意义，乃至于不可能全地认识数学科学本身的美丽和迷人之处。



物理和力学的大多数更复杂的问题中，被研究现象运动的基本定理，同样可以借助与被研究变量对时间导数有关的方程简单地表出，有关未知函数与其导数的方称为微分方程：

借助微分方程可以比较简单地指述万有引力定律作用下天体的运动定律，各种无线技术电路的工作原理，在各种力学结构中张力的分配规等等，那些方程解的研究也是自然和技术给数学提出的基本问题之一。

在高等学校之前在一定程上学习微积分就已经是比较难的，加上多少再推进一些分方程解的理论就更难了。但是，对数学感兴趣，被数学所吸引的人可以试着在中学毕业之前了解一些微积分的简单概念。无论如何，我们很多学者就是这样走进数学的，而且，对于其中一些人来说，正是因为学习了高等数学，使他们终于以数学作为了他们专业决策的依据。对于这一点，可以举出上面曾提到过的库让特和若宾斯的书《什么是数学》 (1947年)，或去读一些高等学校用的相比较而言易懂的教材。

对于决定不会从事这方面工作的人，上面的叙述可以帮助理解到，在进一步学习数学时，他面前的远景比他以前所想象的更宽广更有趣。(姚芳译)

注释
[1] 本文译自：柯尔莫戈洛夫. 论数学职业. 15-21页. (А．Колмогоров О профессии математика. 15-21.
[2]50年代末60年代初的苏联时期。——原书编者注。
[3]这篇文章写于1959年，当时的中学数学中还没有微积分的内容。——原节编者注。

白新岭

正文倒数第五行，那行倒数第15个字，应该是误写："正是因为学习了商等数学"中最后四个字应该是“高等数学”。
深入浅出讲述了高等数学的重要性，和适用性。

白新岭

我对微积分学有些体会。我现在所有念过的书中，仅仅留下了一本高中课本微积分，其它的书籍都没有了。在我上高中时（1986年-1989年），微积分属于选学内容，老师并没有教授，我是自学的，大概用了一个星期的时间，学完全部内容（极限，导数，积分，不定积分，及其应用），并做了练习题，习题，复习题等。书后的一百个积分公式，自己也亲自推导了一遍。

luyuanhong

白新岭 发表于 2021-6-28 12:05
正文倒数第五行，那行倒数第15个字，应该是误写："正是因为学习了商等数学"中最后四个字应该是“高等数学” ...

谢谢楼上 白新岭 指出原文中的笔误！现已更正。