将 1,2,…,7 排成一行，使前 k（k=1,2,…,6）项之和都不能被 7 整除，有几种不同排法?

王守恩

将 1,2,…,7 排成一行，使前 k（k=1,2,…,6）项之和都不能被 7 整除，有几种不同排法?

lihp2020

我先来分析一波  不是答案
7 一定能被7整除  7个元素求和 也能被7 整除
a 那么 7 一定不是 第一个 （这个很好解释）
b还有7 不能最后  （那么前6 一定能被7整除）
c 7 在其他位置 不影响  再一个满足条件的排列 中间任意位置插入7  都不会影响结果
  问题可以简化成将 1,2,…,6 排成一行，使前 k（k=1,2,…,5）项之和都不能被 7 整除，有几种不同排法?
这个结果 最后*5 就是原题结果

luyuanhong

题  将 1,2,…,7 排成一行，使前 k（k=1,2,…,6）项之和都不能被 7 整除，有几种不同排法？

解  因为对第 7 项没有要求，所以只要考虑前 6 项的排列就可以了。

    如果已经从 1,2，…,6 中任选 5 个排成一行，满足题目要求，再将 7 任意插入（不放在首位），

显然也能满足题目要求，所以可以先不考虑 7 ，只考虑从 1,2，…,6 中任选 5 个所作的排列。

    从 1,2，…,6 中任选 5 个所作的排列，共有 P(6,5) 种。

    下面考虑其中使前 k（k=1,2,…,5）项之和能被 7 整除的排列有几种。

    显然不可能有前一项之和能被 7 整除、或前五项之和能被 7 整除的情况。

    前两项之和能被 7 整除的情况，有“16”“25”“34”三种，每种内部可以任意排列，还要从

剩下的 4 个数字中任选 3 个排列在后面，所以这时共有 3×2!×P(4,3) 种排法。

    前三项之和能被 7 整除的情况，有“124”“356”两种，每种内部可以任意排列，还要从剩下

的 3 个数字中任选 2 个排列在后面，所以这时共有 2×3!×P(3,2) 种排法。

    前四项之和能被 7 整除的情况，有“1256”“1346”“2345”三种，每种内部可以任意排列，

但是要减去前两项之和能被 7 整除的 4×2 种排列，还要从剩下 2 个数字中任选 1 个排列在后面，

所以这时共有 3×(3!-4×2)×P(2,1) 种排法。

    由上面分析可知，从 1,2，…,6 中任选 5 个，满足题目要求的排列种数为

  P(6,5) - 3×2!×P(4,3) - 2×3!×P(3,2) - 3×(4!-4×2)×P(2,1) = 720 - 144 - 72 - 96 = 408 。

    再将 7 任意插入（不放在首位），有 5 种插入法。所以，满足题目要求的全部排列种数为

              408×5 = 2040 。

lihp2020

再来分组  a1a2属于{1,6} b1b2属于{2,5} c1c2属于{3,4}
那么就有a1+a2 b1+b2 c1+c2 能被7整除

要是三个数 的和能被 被7整除 一定是abc 各选一个 找到两个 就是
{124}{653}
要是四个个数 的和能被 被7整除  其实就是aabb bbcc或aacc

分析到这 看到一个结论  前面n项被7整除 那么后面6-n项也被7整除（好像没啥用）

那么结果 就是（有点想涂色原理）
aba ccb
aba cbc
abb cac
abb cca

或者
abc[abc]  但是这种要减去[124][653] 和 [653][124]
[abc] 表示abc位置任意

aba cbc 解释
先 在任意组选一个 就取名a组 b 就是 不能在a组取了 的其他组取 c就是 最后剩下的那个组了
就是 选第一次a有6种 第一次b有4中第一次c有2种 第一次选择abc都是唯一
前面4类 就是6*4*2*4
abc[abc] 其中[]表示可以任意交换位置
6*4*2*3！  
减去的是2*3！*3！=72

6*4*2*4+ 6*4*2*3！- 2*3！*3！=408

最后 还要 *5 是上一个我的贴的结论 最终答案 2040

分组  是前面一个被3整除的问题 搞到了惯性思维  好像陆老师的思路 很简单

luyuanhong

luyuanhong 发表于 2021-7-10 19:51
陆老师 有个遗漏 还要排除 前五项和 能被7整除 虽然 前五项和 能被7整除 一定是 前两项 或者前三项被7整除的合集

从 1,2,…,6 中选五个作排列，任何前五项之和都不可能被 7 整除

（因为 1+2+3+…+6=21 是 7 的倍数，少掉一个数，就不可能被 7 整除）。

这一点，我在第 3 楼的解答中已经说到了，放在“显然不可能有前一项之和能被 7 整除”

这句话的后面，你可能没有注意到。

王守恩

luyuanhong 发表于 2021-7-10 19:51
题  将 1,2,…,7 排成一行，使前 k（k=1,2,…,6）项之和都不能被 7 整除，有几种不同排法？

解  因为对 ...

答案是2040，2040=68(说明1)*5(说明2)*6(说明3)
说明1，以"1"为例，给出68种可能。
说明2，对每种可能来说，7有5种摆法。
说明3，根据对称轮换，最高位有6种可能。
01:12345
02:12346
03:12354
04:12356
05:12364
06:12365
00:124×
07:12534
08:12536
09:12543
10:12546
10:1256×
11:12634
12:12635
13:12643
14:12645
00:1265×
15:13245
16:13246
17:13254
18:13256
19:13264
20:13265
21:13425
22:13426
23:13452
24:13456
00:1346×
25:13524
26:13526
27:13542
28:13546
29:13562
30:13564
31:13624
32:13625
00:1364×
33:13652
34:13654
00:142×
35:14325
36:14326
37:14352
38:14356
00:1436×
39:14523
40:14526
41:14532
42:14536
43:14562
44:14563
45:14623
46:14625
00:1463×
47:14652
48:14653
49:15234
50:15236
51:15243
52:15246
00:1526×
53:15324
54:15326
55:15342
56:15346
57:15362
58:15364
59:15423
60:15426
61:15432
62:15436
63:15462
64:15463
00:1562×
65:15632
66:15634
67:15642
68:15643
00:16×

王守恩

王守恩 发表于 2021-7-11 14:22
答案是2040，2040=68(说明1)*5(说明2)*6(说明3)
说明1，以"1"为例，给出68种可能。
说明2，对每种可能 ...

可以有吗？

将 1,2,…,7 排成一行，使前 k（k=1,2,…,6）项都不能被 7 整除，有几种不同排法?

王守恩

luyuanhong 发表于 2021-7-10 19:51
题  将 1,2,…,7 排成一行，使前 k（k=1,2,…,6）项之和都不能被 7 整除，有几种不同排法？

解  因为对 ...

将 1,2,3,…,7 排成一行，使前 k（k=1,2,…,6）个数之和都不能被 7 整除，有几种不同排法?
1，首位是1有68种排法=5!(全排列)-1×4!(第2位是6)-2×3!((第2,3位是2,4)-8×2!((第2,3,4位是2,5,6与3,4,6)
2，首位是2有68种排法=5!(全排列)-1×4!(第2位是5)-2×3!((第2,3位是1,4)-8×2!((第2,3,4位是1,5,6与3,4,5)
3，首位是3有68种排法=5!(全排列)-1×4!(第2位是4)-2×3!((第2,3位是1,3)-8×2!((第2,3,4位是1,4,6与2,4,5)
4，首位是4有68种排法，因为首位是3有68种排法
5，首位是5有68种排法，因为首位是2有68种排法
6，首位是6有68种排法，因为首位是1有68种排法
7，合计68×6×5=2040种排法

王守恩

王守恩 发表于 2021-7-17 09:17
将 1,2,3,4,5,6 排成一个圆，使相邻 k（k=2,3,4,5）个数之和都不能被 7 整除，有几种不同排法？

先看1 ...

将 1,2,3,4,5,6 排成一个圆，使相邻 k（k=2,3,4,5）个数之和都不能被 7 整除，有几种不同排法？

先看1的左右，考虑1,6，124不能相邻，有以下5种模式
12×××3
12×××5
13×××4
13×××5
14×××5

再考虑 124，25，34 不能相邻，第3个数有以下可能。
126××3
123××5
132××4
132××5
136××5
146××5

最后考虑 124，25，34 不能相邻，答案只有7种。
126453
123645
132654
132465
132645
136245
146235

王守恩

王守恩 发表于 2021-7-18 08:13
将 1,2,3,4,5,6 排成一个圆，使相邻 k（k=2,3,4,5）个数之和都不能被 7 整除，有几种不同排法？

先 ...

将 1,2,3,4,5,6,7 排成一个圆，使相邻 k（k=2,3,4,5）个数之和都不能被 8 整除，有几种不同排法？