在 4×5 格子的左下角 A 到右上角 B 的捷径中任取一条，求转弯次数的期望值

wintex

110642  請問數學


1  算式如：2*(5/9)*(4/8)*8
2  或者是： [C(7，4) * 8* 2]/C(9，5)
然而，我無法理解這些算式背後的數學意涵

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，其中给出了这样一个结果：

在 m×n 格子从左下角 A 到右上角的捷径中任取一条，转弯次数的期望值为 2mn/(m+n) 。

在本题中，m=4 ，n=5 ，所以转弯次数的期望值为 2×4×5/(4+5) = 40/9 。

wintex

luyuanhong 发表于 2021-7-12 20:24
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，其中给出了这样一个结果：

在 m×n 格子从左下角 A 到右 ...

陸老師我可以問下如何算 A走到B所有路徑總共轉了幾次彎？

luyuanhong

wintex 发表于 2021-7-13 10:08
陸老師我可以問下如何算 A走到B所有路徑總共轉了幾次彎？

在本题中，从 A 到 B ，共有 5 次向右“→”、4 次向上“↑”。

从 A 到 B（下面用“●”表示转弯）：

可以转 1 次弯，例如： A → → → → →●↑ ↑ ↑ ↑ B ，这样的路径有 2 条。

可以转 2 次弯，例如： A → → →●↑ ↑ ↑ ↑●→ → B ，这样的路径有 7 条。

可以转 3 次弯，例如： A → →●↑ ↑●→ → →●↑ ↑ B ，这样的路径有 24 条。

可以转 4 次弯，例如： A → →●↑ ↑●→ →●↑ ↑●→ B ，这样的路径有 30 条。

可以转 5 次弯，例如： A →●↑ ↑●→ →●↑●→ →●↑ B ，这样的路径有 36 条。

可以转 6 次弯，例如： A →●↑●→ →●↑ ↑●→●↑●→ B ，这样的路径有 18 条。

可以转 7 次弯，例如： A →●↑●→●↑●→ →●↑●→●↑ B ，这样的路径有 8 条。

可以转 8 次弯，例如： A →●↑●→●↑●→●↑●→●↑●→ B ，这样的路径有 1 条。

所以，路径总数为 2 + 7 + 24 + 30 + 36 + 18 + 8 + 1 = 126 条。

转弯次数总数为 1×2 + 2×7 + 3×24 + 4×30 + 5×36 + 6×18 + 7×8 + 8×1 = 560 次。

所以，转弯次数的期望值为 560／126 = 40／9 。

wintex

luyuanhong 发表于 2021-7-13 10:47
在本题中，从 A 到 B ，共有 5 次向右“→”、4 次向上“↑”。

从 A 到 B（下面用“●”表示转弯） ...

老師你那個2F算法也就是一般數學上的期望值算法
為何等價與你用這4F算法?

luyuanhong

第 4 楼中的算法，属于一般的数学上的期望值算法，但是这种算法，其实算起来并不容易。

第 2 楼中的算法，与一般的数学上的期望值算法不同，是一种非常规的简便算法。

它先算出总共有几处可以插入转弯。然后对每一个可插入转弯处，算出在此处可能有

转弯的概率，也就是在此处的转弯数的期望值，再乘以可插入转弯处的总数，得到总

的转弯数的期望值。

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例如，有这样一题：掷一个均匀的硬币 5 次，求出现正面次数的期望值。

像第 4 楼那样，一般的数学上的期望值算法，是这样的：

先算出掷硬币 5 次，出现各种正面次数的概率：

出现 0 次正面的概率是 1/32 ，出现 1 次正面的概率是 5/32 ，

出现 2 次正面的概率是 10/32 ，出现 3 次正面的概率是 10/32 ,

出现 4 次正面的概率是 5/32 ，出现 5 次正面的概率是 1/32 。

然后按照下列公式，计算出现正面次数的期望值

0×1/32 + 1×5/32 + 2×10/32 + 3×10/32 + 4×5/32 + 5×1/32 = 5/2 。

像第 2 楼那样，非常规的简便算法是：

因为每一次掷硬币，出现正面的概率是 1/2 ，也就是说，每一次掷硬币，出现正面次数的

期望值是 1/2 ，所以掷 5 次硬币，出现正面次数的期望值是 5×1/2 = 5/2 。

lihp2020

关于6楼 的解释 我认为 2楼的这种方法 需要证明 前面的结果 前后必须线性无关  或者(有关 但是对结果没有影响）

关于硬币问题 我们知道 第n次的正反面 和前面的结果 没有关系 但是原题 的 前面有几个拐角  感觉太容易影响后面的拐角

luyuanhong

lihp2020 发表于 2021-7-13 13:57
关于6楼 的解释 我认为 2楼的这种方法 需要证明 前面的结果 前后必须线性无关  或者(有关 但是对结果没有影 ...

由概率论理论可以知道，两个随机变量 X ,Y  ，不管它们相关不相关、不管它们独立不独立，总是有

               E(X+Y)=E(X)+E(Y） 。

所以，即使各次掷硬币不独立，总的出正面次数的期望值，还是会等于各次掷硬币出正面次数期望值之和。

wintex

luyuanhong 发表于 2021-7-13 14:06
由概率论理论可以知道，两个随机变量 X ,Y  ，不管它们相关不相关、不管它们独立不独立，总是有

      ...

老師 我發現你分類的560 剛好是 C(7，4) * 8* 2，可以解釋一下嗎。因為參考書只有答案

wintex

wintex 发表于 2021-7-13 19:12
老師 我發現你分類的560 剛好是 C(7，4) * 8* 2，可以解釋一下嗎。因為參考書只有答案

想請問