在椭球 x^2／a^2+y^2／b^2+z^2／c^2≤1 上计算三重积分 ∫∫∫｜xyz｜dxdydz

wufaxian

请看上图题干经过换元后，将积分区域变成了球体，因此在球面坐标下积分。下图是答案。答案的解题过程积分区域是1/8球体。积分结果*8。我解题时积分区域是整个球体。因此第二重积分的上下限是0-π。这就导致一个结果，这一重积分的数值解是0。这就导致整个积分结果变成0了吧？这明显不对啊！！！！！不能因为选择求1/8球体再乘以8得到一个结果。而直接求整个球体结果就是0。那么错误出在哪里呢？因为这一重积分被积函数是(sinφ)^3*cos(φ)过于特殊造成z轴负半轴体积为负？

luyuanhong

（1）如果三重积分中有一重积分为 0 ，则三重积分必定等于 0 ，这是没有疑问的。

（2）在本题中，不会发生有一重积分为 0 的情况。

请注意：本题要求的三重积分是 ∫∫∫｜xyz｜dxdydz ，被积函数 xyz 外面有绝对值符号。

如果只是在 (0,π/2)×(0,π/2)×(0,1) 区域中求积分，因为这时 xyz 是正的，不用考虑绝对值符号。

如果你将积分区域 (0,π/2) 改为 (0,π) ，这时 xyz 有可能是负的，所以外面必须加上绝对值符号。

加上绝对值符号后，一重积分 ∫(0,π)｜(sinφ)^3 cosφ｜dφ 就不会等于 0 了。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-7-17 08:49
（1）如果三重积分中有一重积分为 0 ，则三重积分必定等于 0 ，这是没有疑问的。

（2）在本题中，不会发 ...

谢谢lu老师的详细解答。我明白了。
您答案的最后一步对|(sinφ)^3*cos(φ)|在0-π进行积分。正确的方法是不是把它拆成 |(sinφ)^3*cos(φ)|在0-π/2进行积分 -  |(sinφ)^3*cos(φ)|在π/2-π的积分
对么？

luyuanhong

wufaxian 发表于 2021-7-17 15:25
谢谢lu老师的详细解答。我明白了。
您答案的最后一步对|(sinφ)^3*cos(φ)|在0-π进行积分。正确的方法 ...

对。