数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
查看: 5268|回复: 1

2021国际数学奥赛第二题,分享一个神乎奇技的解法

[复制链接]
发表于 2021-7-25 11:50 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 zytsang 于 2021-7-25 19:05 编辑

对任意实数 \(x_1,\cdots,x_n\),证明以下不等式成立:
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\leq\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}\]




对任意实数 \(x\) 有
\[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\frac{1-\cos{(xt)}}{t\sqrt{t}}\mathrm{d}t
=\sqrt{|x|}\]
所以
\[\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\left[\sqrt{|x_i+x_j|}-\sqrt{|x_i-x_j|}\right] \\
=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\frac{\cos{[(x_i-x_j)t]}-\cos{[(x_i+x_j)t]}}{t\sqrt{t}}\mathrm{d}t\right] \\
=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\frac{2\sin{(x_i t)}\sin{(x_j t)}}{t\sqrt{t}}\mathrm{d}t\right] \\
=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\left[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{2\sin{(x_i t)}\sin{(x_j t)}}{t\sqrt{t}}\right]\mathrm{d}t \\
=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\left[\frac{2}{t\sqrt{t}}\left(\sum_{i=1}^n\sin{x_i t}\right)^2\right]\mathrm{d}t \geq 0
\end{aligned}\]
证毕。
发表于 2021-7-25 12:39 | 显示全部楼层
楼上 zytsang 的帖子很好!已收藏。
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-12 00:29 , Processed in 0.310438 second(s), 15 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表