2021国际数学奥赛第二题，分享一个神乎奇技的解法

zytsang

对任意实数 \(x_1,\cdots,x_n\)，证明以下不等式成立：
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i-x_j|}\leq\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sqrt{|x_i+x_j|}\]

---

对任意实数 \(x\) 有
\[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\frac{1-\cos{(xt)}}{t\sqrt{t}}\mathrm{d}t
=\sqrt{|x|}\]
所以
\[\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\left[\sqrt{|x_i+x_j|}-\sqrt{|x_i-x_j|}\right] \\
=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\frac{\cos{[(x_i-x_j)t]}-\cos{[(x_i+x_j)t]}}{t\sqrt{t}}\mathrm{d}t\right] \\
=&\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\frac{2\sin{(x_i t)}\sin{(x_j t)}}{t\sqrt{t}}\mathrm{d}t\right] \\
=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\left[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{2\sin{(x_i t)}\sin{(x_j t)}}{t\sqrt{t}}\right]\mathrm{d}t \\
=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty\left[\frac{2}{t\sqrt{t}}\left(\sum_{i=1}^n\sin{x_i t}\right)^2\right]\mathrm{d}t \geq 0
\end{aligned}\]
证毕。

luyuanhong

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