在 ΔABC 中，A=2B，CD 是角平分线，SΔADC：SΔBDC=2：3，AB=5，求 cosB 和 SΔADC

怪蜀黍要奶粉

关于余弦定理舍解的不严谨性



这是一道高一的数学题，



第一问COS∠B=3/4，
而在第二问对COS∠B用余弦定理时，可以得到两个解，
①:AC=4;BC=6或②:AC=5;BC=7.5
从而求出两个面积，
绝大部分人做到这里就结束了
(参考小猿搜题)
而事实上第二个解是不对的，
(证明也不难，这里也不做解释，)
在往常的题中通过余弦定理一般情况下都是可以把解舍掉的，
而在此过程中却没能够舍掉，
实际上问题出在第一问的倍角公式，
A=2B⇒SIN∠A=SIN2∠B
这一步，
由于前面的条件只对应一个解①，
即正确答案，
而后面的却对应了两种情况
③:A=2B和④:A+2B:π
而③对应①，④对应②，
由此我们知道因为
A=2B⇒SIN∠A=SIN2∠B而
SIN∠A=SIN2∠B却不能推出A=2B，
所以才有没能舍掉的多解。
那么再次遇到这样的情况怎么办呢？
我的方法如下:
我建议在当前的数学体系中加入
"不可逆性"这个性质，然后当我们在遇到像
A=2B⇒SIN∠A=SIN2∠B
这样的推导时，就能提前知道这里多了一个解，
从而把它舍去。
甚至当我们在第一问还没做完时就可以
知道第二问有多解需要舍，而且还能知道第二种解的情况
即A+2B=π，∴B=C
所以等腰，再加上题中给的比例，多的解②就能知道了，
本来在第二问正常人都舍不掉的解，运用不可逆性
在第一问就能看透，这目前也是我最好的方法了，
如果有其他更好的方法或者觉得我有错误欢迎指出。

王守恩

\(\frac{5}{\sin(3\theta)}=\frac{2x}{\sin(\theta)}=\frac{3x}{\sin(2\theta)}\)
\(由\frac{2x}{\sin(\theta)}=\frac{3x}{\sin(2\theta)}解得\cos(\theta)=\frac{3}{4}\)
\(由\frac{5}{\sin(3\theta)}=\frac{2x}{\sin(\theta)}解得x=2\)

怪蜀黍要奶粉

只有在余弦定理中出现这个问题，正弦不会