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关于散度是“通量密度”证明中的一个困惑!

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发表于 2021-7-28 20:38 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 wufaxian 于 2021-7-29 15:52 编辑





请看上图蓝线部分:
1、速度变成速率为什么单位从“每秒米”变成“每秒平方米”了呢?是因为Δx么?如果是因为乘以了Δx,那也不是乘以Δx速率变速度了!

2、F(x,y).(-j)Δx=-N(x,y)Δx  

这说明在底边。向量场函数F 在 纵向的投影与 -j的夹角是180度。因此才会得到-N(x,y)Δx  。因此才有了后面“求和”出现N(x,y+Δy)-N(x,y)=\(\frac{\vartheta N}{\vartheta y}\ \Delta y\)

但是如果在底边,向量场函数F 纵向的投影与 -j的夹角是0度(如下图(矩形中间也是有向量的,图省事,没画))。那么F(x,y).(-j)Δx= +N(x,y)Δx  后面“求和”出现N(x,y+Δy)+N(x,y)。那么N(x,y+Δy)+N(x,y)还等于\(\frac{\vartheta N}{\vartheta y}\ \Delta y\)么?
N(x,y+Δy)+N(x,y)/Δy  不再是一个偏导\(\frac{\vartheta N}{\vartheta y}\)的形式了!!!!




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发表于 2021-7-28 22:26 | 显示全部楼层
本帖最后由 zytsang 于 2021-7-28 22:29 编辑

偏微分的符号是 \(\partial\),\(\LaTeX\)代码是
  1. \partial
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\(\mathbf{i}\) 和 \(\mathbf{j}\) 是二维平面的单位向量,可以表示为
\[\mathbf{i}=\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix},\quad\mathbf{j}=\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}\]
所以单位向量的点积为
\[\mathbf{i}\cdot\mathbf{i}=\mathbf{j}\cdot\mathbf{j}=1\]
\[\mathbf{i}\cdot\mathbf{j}=\mathbf{j}\cdot\mathbf{i}=0\]
底边的通量密度是向量的点积:
\[\begin{aligned}
\textbf{F}(x,y)\cdot (-\mathbf{j})\Delta x
&= [M(x,y)\mathbf{i}+N(x,y)\mathbf{j}]\cdot (-\mathbf{j})\Delta x\\
&= M(x,y)\underbrace{\mathbf{i}\cdot (-\mathbf{j})}_{\mathbf{i}\cdot\mathbf{j}=0} \Delta x
+N(x,y)\underbrace{\mathbf{j}\cdot(-\mathbf{j})}_{\mathbf{j}\cdot\mathbf{j}=1}\Delta x \\
&=-N(x,y)\Delta x
\end{aligned}\]
向量场函数 \(\mathbf{F}\) 已经包含了二维平面上的所有角度的向量。
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 楼主| 发表于 2021-7-28 23:10 | 显示全部楼层
zytsang 发表于 2021-7-28 22:26
偏微分的符号是 \(\partial\),\(\LaTeX\)代码是

\(\mathbf{i}\) 和 \(\mathbf{j}\) 是二维平面的单位向 ...

谢谢回复。问题在黑体字部分
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发表于 2021-7-28 23:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 zytsang 于 2021-7-28 23:47 编辑
wufaxian 发表于 2021-7-28 23:10
谢谢回复。问题在黑体字部分


\(\textbf{F}\) 沿纵向的投影是和单位向量 \(\mathbf{j}\) 同向的,所以和 \(-\mathbf{j}\) 的夹角必然为180度,不可能为0度。这个是由题目的定义 \(\textbf{F}(x,y)= M(x,y)\mathbf{i}+N(x,y)\mathbf{j}\) 所决定的。

物理上如果在底边存在往下流动的速度场,表明在底边的边界上,标量函数 \(N(x,y)<0\)。此时纵向的单位向量 \(\mathbf{j}\) 并没有改变,依然向上。

所以 \(\mathbf{F}(x,y)\cdot(-\mathbf{j})\Delta x = -N(x,y)\Delta x\) 必然成立,不可能存在 \(\mathbf{F}(x,y)\cdot(-\mathbf{j})\Delta x = +N(x,y)\Delta x\) 的情况
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 楼主| 发表于 2021-7-29 00:48 | 显示全部楼层
zytsang 发表于 2021-7-28 23:39
\(\textbf{F}\) 沿纵向的投影是和单位向量 \(\mathbf{j}\) 同向的,所以和 \(-\mathbf{j}\) 的夹角必然 ...




我看了一下题目没有说M 和N在定义域内大于0。那么在不了解函数表达式的情况下无法排出在定义域内给定任意(x,y)时N(x,y)是一个负数。更进一步如果F(x,y)就是上图那样的一个场函数呢?(矩形中间也是有向量的,图省事,没画)

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发表于 2021-7-29 14:19 | 显示全部楼层
本帖最后由 zytsang 于 2021-7-29 14:21 编辑
wufaxian 发表于 2021-7-29 00:48
我看了一下题目没有说M 和N在定义域内大于0。那么在不了解函数表达式的情况下无法排出在定义域内给 ...


\(\mathbf{F}\) 本來就是一个场函数。把原点设在矩形的中心,可以写出一个例子满足如图所示的场:
\[M(x,y)=x\]
\[N(x,y)=y\]
\[\mathbf{F}(x,y)=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}\]
在底边,\(y<0\),并且
\[\mathbf{F}(x,y)\cdot(-\mathbf{j})\Delta x = -y\Delta x\]

对于任意场函数 \(\mathbf{F}\),以下都成立
\[\mathbf{F}(x,y)\cdot(-\mathbf{j})\Delta x = -N(x,y)\Delta x\]
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 楼主| 发表于 2021-7-29 15:43 | 显示全部楼层
zytsang 发表于 2021-7-29 14:19
\(\mathbf{F}\) 本來就是一个场函数。把原点设在矩形的中心,可以写出一个例子满足如图所示的场:
\[M ...

在底边y本身就小于0了。也就是说在底边F(x,y)与-j的夹角小于90度,所以此时“yΔx本身就小于零”了。那么-yΔx就大于0了。F(x,y).(-j)Δx=yΔx  才对吧????不知道我的想法对不对?
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发表于 2021-7-29 16:54 | 显示全部楼层
wufaxian 发表于 2021-7-29 15:43
在底边y本身就小于0了。也就是说在底边F(x,y)与-j的夹角小于90度,所以此时“yΔx本身就小于零”了。那么 ...

我觉得我解释不了,另请高明吧。我也不应该举这个例子。
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