在 1～6n 中任意取 6 个不同整数，使得这 6 个数之和能被 6 整除，有几种不同取法？

天山草

天山草 发表于 2021-8-7 08:40
王守恩在 19# 楼给出的 m=9 的公式验证程序如下：

1. n = 45;
   
2. s = Binomial[n, 9]/
   
3.    9 - \[LeftFloor]n/
   
4.      9\[RightFloor] (2 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor]^4 -
   
5.       20 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor]^3 +
   
6.       43 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor]^2 -
   
7.       73 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor] + 24)/27
   
8. s1 = (\[LeftFloor](1 + Mod[n + 8, 9])/
   
9.      9\[RightFloor] + \[LeftFloor](1 + Mod[n + 7, 9])/
   
10.      9\[RightFloor] + \[LeftFloor](1 + Mod[n + 6, 9])/9\[RightFloor])
    
11. s2 = +(100 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor]^2 -
    
12.       33 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor])/
    
13.    27 (\[LeftFloor](1 + Mod[n + 5, 9])/
    
14.       9\[RightFloor] + \[LeftFloor](1 + Mod[n + 4, 9])/
    
15.       9\[RightFloor] + \[LeftFloor](1 + Mod[n + 3, 9])/9\[RightFloor])
    
16. s3 = +(127 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor]^2 -
    
17.       24 \[LeftFloor]n/9\[RightFloor])/
    
18.    27 (\[LeftFloor](1 + Mod[n + 2, 9])/
    
19.       9\[RightFloor] + \[LeftFloor](1 + Mod[n + 1, 9])/
    
20.       9\[RightFloor] + \[LeftFloor](1 + Mod[n, 9])/9\[RightFloor])

复制代码

当 n 能被 9 整除时，上面程序中的 s  表达式不完全对。要解决这个问题，还是需要知道  n=45 时的实际值是多少，但是电脑又无力算出来。看来只能按陆教授的方法分成各种情况进行分析，这时，情况非常复杂，靠人工大概很难做到不重复不遗漏。

王守恩

天山草 发表于 2021-7-31 06:11
1～9n 已无法用待定系数方法做了。因为本人电脑能力有限，算出来可能需要许多天。

所谓待定系数法，就 ...

对19楼作点修改。
在 1～n 中任意取 9 个不同整数，使得这 9 个数之和能被 9 整除，有几种不同取法？

\(a(n)=(\frac{9\lfloor n/9\rfloor^3+5\lfloor n/9\rfloor\ \ }{27})(\lfloor\frac{(n+5)_{9}+1}{9}\rfloor+\lfloor\frac{(n+4)_{9}+1}{9}\rfloor+\lfloor\frac{(n+3)_{9}+1}{9}\rfloor)\)
\(+(\frac{9\lfloor n/9\rfloor^3-9\lfloor n/9\rfloor^2+8\lfloor n/9\rfloor\ \ }{27})(\lfloor\frac{(n+8)_{9}+1}{9}\rfloor+\lfloor\frac{(n+7)_{9}+1}{9}\rfloor+\lfloor\frac{(n+6)_{9}+1}{9}\rfloor)\)
\(+(\frac{9\lfloor n/9\rfloor^3+9\lfloor n/9\rfloor^2+8\lfloor n/9\rfloor\ \ }{27})(\lfloor\frac{(n+2)_{9}+1}{9}\rfloor+\lfloor\frac{(n+1)_{9}+1}{9}\rfloor+\lfloor\frac{(n)_{9}+1}{9}\rfloor)+\frac{n!/9}{9!(n-9)!}\)

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 7, 26, 81, 224, 559, 1274, 2704, 5408, 10270, 18668, 32668, 55278,
90808, 145292, 227011, 347186, 520779, 767454, 1112799, 1589712, 2240037, 3116562, 4285272,
5827956,7845312,10460416,13822676,18112456,23546192,30382164,38927129,49543618,62658083,
78770140,98462675,122413030,151405565,186345310,228272976,278381650,338034860,408786310,.}
注：《整数序列在线百科全书(OEIS)》没有收录。

王守恩

王守恩 发表于 2021-8-8 18:10
对19楼作点修改。
在 1～n 中任意取 9 个不同整数，使得这 9 个数之和能被 9 整除，有几种不同取法？
...

在 1～n 中任意取10 个不同整数，使得这 10 个数之和能被 10 整除，有几种不同取法？

\(a(n)=\frac{n!/10}{10!(n-10)!}-(\frac{625\lfloor n/10\rfloor^5-125\lfloor n/10\rfloor^3-192\lfloor n/10\rfloor^2+4\lfloor n/10\rfloor\ \ }{240})(\lfloor\frac{(n+4)_{10}+1}{10}\rfloor)\)
\(-(\frac{625\lfloor n/10\rfloor^5-1250\lfloor n/10\rfloor^4+875\lfloor n/10\rfloor^3-442\lfloor n/10\rfloor^2+216\lfloor n/10\rfloor\ \ }{240})(\lfloor\frac{(n+9)_{10}+1}{10}\rfloor+\lfloor\frac{(n+8)_{10}+1}{10}\rfloor)\)
\(-(\frac{625\lfloor n/10\rfloor^5-625\lfloor n/10\rfloor^4+125\lfloor n/10\rfloor^3-167\lfloor n/10\rfloor^2+186\lfloor n/10\rfloor\ \ }{240})(\lfloor\frac{(n+7)_{10}+1}{10}\rfloor+\lfloor\frac{(n+6)_{10}+1}{10}\rfloor)\)
\(-(\frac{625\lfloor n/10\rfloor^5+625\lfloor n/10\rfloor^4+125\lfloor n/10\rfloor^3-217\lfloor n/10\rfloor^2-6\lfloor n/10\rfloor\ \ }{240})(\lfloor\frac{(n+3)_{10}+1}{10}\rfloor+\lfloor\frac{(n+2)_{10}+1}{10}\rfloor)\)
\(-(\frac{625\lfloor n/10\rfloor^5+1250\lfloor n/10\rfloor^4+875\lfloor n/10\rfloor^3+58\lfloor n/10\rfloor^2+24\lfloor n/10\rfloor\ \ }{240})(\lfloor\frac{(n+1)_{10}+1}{10}\rfloor+\lfloor\frac{(n)_{10}+1}{10}\rfloor)\)
\(-(\frac{625\lfloor n/10\rfloor^5-125\lfloor n/10\rfloor^3-192\lfloor n/10\rfloor^2+196\lfloor n/10\rfloor\ \ }{240})(\lfloor\frac{(n+5)_{10}+1}{10}\rfloor)\)

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 6, 28, 98, 299, 796, 1940, 4364, 9226, 18452, 35248, 64620, 114362, 196048,
326800, 531048,843503, 1312114,2002804, 3004206,4434921, 6450792,9255672, 13112200,18357328,
25417836, 34832164, 47272220, 63573384, 84764512, 112108400,147142272, 191731453, 248123054,
319016108, 407631690, 517803323, 654067352,821778016, 1027222520, 1277765890, 1581995860,...}
注：《整数序列在线百科全书(OEIS)》没有收录。

天山草

王守恩

王守恩 发表于 2021-8-14 19:12
在 1～n 中任意取10 个不同整数，使得这 10 个数之和能被 10 整除，有几种不同取法？

\(a(n)=\frac{n! ...

在 1～n 中任意取12 个不同整数，使得这 12 个数之和能被 12 整除，有几种不同取法？

\(a(n)=\frac{27\lfloor n/12\rfloor^6}{5}-(\frac{2916\lfloor n/12\rfloor^5-1990\lfloor n/12\rfloor^4+1365\lfloor n/12\rfloor^3-791\lfloor n/12\rfloor^2+294\lfloor n/12\rfloor}{360})(\lfloor\frac{(n+9)_{12}+1}{12}\rfloor)\)
\(-(\frac{2916\lfloor n/12\rfloor^5-1990\lfloor n/12\rfloor^4+725\lfloor n/12\rfloor^3-311\lfloor n/12\rfloor^2+214\lfloor n/12\rfloor}{360})(\lfloor\frac{(n+8)_{12}+1\ \ }{12}\rfloor)\ +\ \frac{n!/12}{12!(n-12)!}\)
\(-(\frac{4860\lfloor n/12\rfloor^5-5230\lfloor n/12\rfloor^4+3255\lfloor n/12\rfloor^3-1241\lfloor n/12\rfloor^2+330\lfloor n/12\rfloor}{360})(\lfloor\frac{(n+11)_{12}+1}{12}\rfloor+\lfloor\frac{(n+10)_{12}+1}{12}\rfloor)\)
\(-(\frac{972\lfloor n/12\rfloor^5-370\lfloor n/12\rfloor^4+455\lfloor n/12\rfloor^3-86\lfloor n/12\rfloor^2+133\lfloor n/12\rfloor}{360})(\lfloor\frac{(n+7)_{12}+1}{12}\rfloor+\lfloor\frac{(n+6)_{12}+1}{12}\rfloor)\)
\(+(\frac{972\lfloor n/12\rfloor^5+370\lfloor n/12\rfloor^4-85\lfloor n/12\rfloor^3+86\lfloor n/12\rfloor^2-47\lfloor n/12\rfloor}{360})(\lfloor\frac{(n+5)_{12}+1\ }{12}\rfloor+\lfloor\frac{(n+4)_{12}+1\ }{12}\rfloor)\)
\(+(\frac{4860\lfloor n/12\rfloor^5+5230\lfloor n/12\rfloor^4+2715\lfloor n/12\rfloor^3+701\lfloor n/12\rfloor^2-30\lfloor n/12\rfloor}{360})(\lfloor\frac{(n+1)_{12}+1}{12}\rfloor+\lfloor\frac{(n)_{12}+1}{12}\rfloor)\)
\(+(\frac{2916\lfloor n/12\rfloor^5+1990\lfloor n/12\rfloor^4+185\lfloor n/12\rfloor^3-229\lfloor n/12\rfloor^2-146\lfloor n/12\rfloor}{360})(\lfloor\frac{(n+3)_{12}+1}{12}\rfloor)\)
\(+(\frac{2916\lfloor n/12\rfloor^5+1990\lfloor n/12\rfloor^4+825\lfloor n/12\rfloor^3+251\lfloor n/12\rfloor^2-66\lfloor n/12\rfloor}{360})(\lfloor\frac{(n+2)_{12}+1}{12}\rfloor)\)

{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 8, 39,154, 518,1556,  4208, 10516, 24516,  53930,112716, 225432,
433444, 804960, 1448816,2535412, 4324927, 7208216,11760491,18816764,29568824, 45697248,
69538728, 104308092, 154375200, 225625260, 325902154,  465574454,  658224574, 921514412,
1278227860,  1757563244,  2396674899,3242560086, 4354292019, 5805722692,7688656056,......}
注：《整数序列在线百科全书(OEIS)》没有收录。

独舟星海

在这1─6n和数中抽取6个不同的，其和模6为0的有多少个，已经给出了答案。现在考虑这样的问题，余数是1或5的有多少个；余数是2或4的有多少个，余数是3的有多少个？所列每组都是加法逆元，其数量应该是相等的。连续的n值，6个数，抽发总数并不总是6的倍数，说明取平均值，再考虑与平均值的差表示行不通。那就从6次多项式中考虑，用待定系数法，求其系数，最后化成有理数多项式形式。我分析其他问题时，最高用到过5次的，待定系数法求表达式。现在设置一套，试着求一下表达式。vfp程序统计结果，模6余数是3的最多；模6余数是2或4的最少;余数0比最少的多；模6余数是1或5的比最多的少。

独舟星海

有这样的规律，最少的比次少的少(n-1)n个;最多的比次多的多\(n^2\)个。再有一组关系式可获得公式表达式。

独舟星海

6的拆分共11种，这11种，共有462种组合方法（不同余数），从周期2开始，每过5个周期，总抽取法数可以整除462。但是11种拆分中，余数组合法没有一致的情况（每种方法的和模6的余数分布情况），6=1+1+1+1+1+1，即每种余数抽取1个数，它们的和模6余数是3。最末1种，6=6，即1种余数中抽取6个数，有6种取法，每种余数是1种取法。这6种取法，其和模6余数都是0。其他拆分方法，余数组合情况等有网络再发出。

白新岭

从1→6n中任意取6个不同整数，使得这6个数之和模6余数是2（或4）的，有几种不同取法？
在luyuanhong教授给的公式表达式的基础上，减\(P_n^2\)=n*(n-1)即可。

白新岭

从1→6n中任意取6个不同整数，使得这6个数之和模6余数是1（或5）的，有几种不同取法？
如果有了余数为3的不同取法数，则在其基础上减\(n^2\)即可。