数列极限的重要性质

jzkyllcjl

变量性数列永远达不到其极限值。例如数列10^n 趋向+∞ ，但永远达不到+∞ ; 数列{1/10^n}趋向于极限值0，但永远达不到0.

elim

正是这个性质，使得算不到底的东西辩证地成为了定数．

春风晚霞

一、关于庄子、芝诺命题的讨论：
1、两个远古的问题：
1)、庄子问题：
       庄子（约公元前369年—约公元前286年）在《庄子.天下篇》中提出了这样一个命题：“一尺之锤,日取其半,万世不竭”。
       如果我们用数学语言把它翻译出，其日取其半的余量构成个等比数列{\(1\over 2\)，\(1\over 2^2\)，\(1\over 2^3\)，…，\(1\over 2^n\)……}，因为庄子认为\(1\over 2^n\)永远不等于0，故有“万事不竭之说”。
2)芝诺问题：
       古希腊哲学家芝诺提出了命题：“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。”这个命题也常被称为“一个在房间里的人永远走不出房间去”。
        如果我们假设房子两壁间的距离为s，则庄所走过的各中上构成等比数列为{\(s\over 2\)，\(s\over 2^2\)，\(s\over 2^3\)，…，\(s\over 2^n\)……}，由于芝诺认为无论n如何变化，永远都有\(s\over 2^n\)不等于0，所以得出“一个在房问里的人永远走不出房间去”的结论。
       因为这两个问题都涉及到：当n\(\to\)∞时\(1\over 2^n\)是趋向于0还等于0的问题。所以几千年来，人类并未从数学上予以真正的解决。
2、用辩证无穷的思想，重新审视庄子和芝诺问题
       根据恩格斯的“全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或走向自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，尽管是不自觉地借用的，所以它只能从现实来说明，而不能从它自身，从数学的抽象来说明。如果我们从这方面来研究现实，那么如我们看到的，我们就会发现作为数学的无限性关系来源的现实关系，甚至会发现自然界中使这种关系起作用的数学方法的类似物。而这样一来，事情就得到了说明。”【参见恩格斯《自然辩证法》2018年2月版P187页】由于庄子和芝诺把当n\(\to\)∞时，\(1\over 2^n\)\(\ne\)0 推向了极端，于是才有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”和“一个在房间里的人永远走不出房间去”的谬妄。所以我们“只能从现实来说明，而不能从它自身，从数学的抽象来说明”。由于芝诺问题与庄子问题同源，所以我们用庄子问题为例来说明它就行了。
       因为在现实生活中，我们要完成“一尺之棰，日取其半”的工作，所用工具都必有刃。不妨设刃宽为1幺尺(1幺尺=\(1\over 10^{24}\)尺，这个刃宽是目前最小的度量单位了，当然也就比庄子时期的刀斧剑锯的刃宽度小得多。当“一尺之棰，日取其半”的余量满足不等式\(1\over 2^n\)<\(1\over 10^{24}\)………① 时，“日取其半”的工作也就必然结束。根据恩格斯“正因为无限性是矛盾，所以它是无限的、在时间上和空间无止境的展开过程。如果矛盾消除了，那么无限性就终止了。”【参见恩格斯《反杜林论》2018年2月版P53页第13至15行】解不等式① 得n\(\geqq\)80即在80天时就有\(1\over 2^n\)=0，由于n=80远远小于n\(\to\)∞，所以\({\lim\limits_{n\to\infty}}\)\(1\over 2^n\)\(\equiv\)0(\(\equiv\)表示等于恒等并非趋向0)……② 所以庄子的“万世不谒”非真。同理我们亦证得芝诺“一个在房问里的人永远走不出房间去”非真。请特别注意，并坚决记住\({\lim\limits_{n\to\infty}}\)\(1\over 2^n\)\(\equiv\)0这个等式，以备它用。
二、关于P.J.Davis和R.Hersh等式之讨论
       在P.J.Davis和R.Hersh合著的《数学经验》一书4.7节，给出了一个等式：\(1\over 2\)+\(1\over 4\)+\(1\over 8\)+\(1\over 16\)+…=1，
       对于这个等式有以下几种解释：
       ① 、P.J.Davis和R.Hersh认为“方程左边似乎是一种不完全的东西，一种努力。右边则是有限和完全，两边之间的的张力就是力量和悖论的源泉。
       ②、徐利治先生认为：这里不完全的东西之所以能变成完全的东西，无限努力之所以能取得有限的结果就在于通过实无限过程发生了质变(参见徐利治《论无限》P14页9到11行)。
       ③春风晚霞对等式\(1\over 2\)+\(1\over 4\)+\(1\over 8\)+\(1\over 16\)+…=1的解读:
       【解】因为\(1\over 2\)+\(1\over 4\)+\(1\over 8\)+\(1\over 16\)+…+\(1\over 2^n\)=1-\(1\over 2^n\)，所以：\(1\over 2\)+\(1\over 4\)+\(1\over 8\)+\(1\over 16\)+…=\({\lim\limits_{n\to\infty}}\)(1-\(1\over 2^n\))=1-\({\lim\limits_{n\to\infty}}\)\(1\over 2^n\)=1。

jzkyllcjl

春风晚霞：你说的“在80天时就有1/2^n=0”好像是你引用的恩格斯的话，但我没有找到原话（我的书是1970年版，你能不能指出你引用的是哪一编，那一节）。我的认识是：1/2^n永远达不到0.，所以你说的无穷级数和永远达不到1.  

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2021-8-4 14:12
春风晚霞：你说的“在80天时就有1/2^n=0”好像是你引用的恩格斯的话，但我没有找到原话（我的书是1970年版 ...

jzkyllcjl先生：
       我引用的〖恩格斯的“正因为无限性是矛盾，所以它是无限的、在时间上和空间无止境的展开过程。如果矛盾消除了，那么无限性就终止了。”【参见恩格斯《反杜林论》2018年2月版P53页第13至15行】〗就在你常引用“杜林先生永远做不到没有矛盾的思考现实的无限性”那一页，把那段话读完，就找到了。
       你读贴不认真，没有看清我根据辩证无穷观展开计算的全过程。80天不是恩格斯说的，而是根据对“一尺之棰，日取其半”的操作工具刃宽计算出来的，80 天后剩余量小于刃宽，日取其半的操作无法继续而被迫终止。故此余量为0。数学论证需要逻辑思维和演绎计算，不能单靠猜测。

李利浩

一，小数点后位数的末位终将落在一个不可继续再分的点上。
二，任何两个点之间必定存在距离。

春风晚霞

jzkyllcjl先生的趋向性极限是一个伪概念。
1、什么是趋向性极限
     按jzkyllcjl先生的解释，趋向性极限的定义为：同时具备以下两个条件：①、当n\(\to\)∞时，f(n)的极限是A；②  当n\(\to\)∞时，f(n)只是趋向于A，但f(n)\(\ne\)A的极限叫\(\color{red}{趋向性极限}\)。
2、 趋向性极限是一个伪概念。
       证明：设当n\(\to\)∞时，f(n)的\(\color{red}{趋向性极限}\)是A；则由\(\color{red}{趋向性极限}\)定义中的条件②当n\(\to\) ∞时，f(n)-A\(\ne\)0;则|f(n)-A|\(\ne\)0，令|f(n)-A|=\(\alpha\)>0;取\(\varepsilon\)=\(\alpha\over 2\) ，则有|f(n)-A|>\(\varepsilon\)，所以，\({\lim\limits_{n\to\infty}}\)f(n)\(\ne\)A。这与定义中的条件①\({\lim\limits_{n\to\infty}}\)f(n)=A矛盾。所以同时满足条件①、②的极限不存在。因此趋向性极限是一个不自洽(前后矛盾)的伪概念。

李利浩

李利浩 发表于 2021-8-4 19:37
一，小数点后位数的末位终将落在一个不可继续再分的点上。
二，任何两个点之间必定存在距离。

个人认为，庄子的话应该说的是以上两点

elim

jzkyllcjl 的所有数学概念都是伪概念。活该被人类数学抛弃。

谢芝灵

无限的没有极限。
原因：无限的定义。