已知 x∈(0,+∞) ，求 x+4√x+4/√x+4/x 的最小值

FGNBGHJUOI

可否求一下详细过程了，谢谢了

lihp2020

我只能说表达式可以化简成
\(\left( \sqrt{x}+2\right)^2+(\frac{\sqrt{2}}{x}+1)^2-5\)
是否可以理解成一个动点 到 两个固定点的距离的平方和 要最小  平方和 是否 要使用到圆锥曲线我也不知道  

FGNBGHJUOI

lihp2020 发表于 2021-8-6 15:10
我只能说表达式可以化简成
\(\left( \sqrt{x}+2\right)^2+(\frac{\sqrt{2}}{x}+1)^2-5\)
是否可以理解成 ...

权方和不等式和基本不等式可以用么，感觉好像不行

KKKKK

把\(\sqrt{x}\)写为\(x\)，原来的式子可以写成
\(\frac{x^2}{2^{\frac{2}{3}}}·2^{\frac{2}{3}}+\frac{x}{2^{\frac{1}{3}}}·2^{\frac{1}{3}}·4+\frac{2^{\frac{1}{3}}}{x}·\frac{4}{2^{\frac{1}{3}}}+\frac{2^{\frac{2}{3}}}{x}·\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}\)
由加权的均值不等式，它大于等于常数
\(6·2^{\frac{1}{3}}+3·2^{\frac{2}{3}}\)
当且仅当\(x=\sqrt[3]{2}\)时，等号成立

FGNBGHJUOI

KKKKK 发表于 2021-8-6 16:43
把\(\sqrt{x}\)写为\(x\)，原来的式子可以写成
\(\frac{x^2}{2^{\frac{2}{3}}}·2^{\frac{2}{3}}+\frac{x} ...

那个\(\frac{x^2}{2^{\frac{2}{3}}}\cdot2^{\frac{2}{3}}+\frac{x}{2^{\frac{1}{3}}}\cdot2^{\frac{1}{3}}\cdot4+\frac{2^{\frac{1}{3}}}{x}\cdot\frac{4}{2^{\frac{1}{3}}}+\frac{2^{\frac{2}{3}}}{x}\cdot\frac{4}{2^{^{\frac{2}{3}}}}\)到\(6\cdot2^{\frac{1}{3}}+3\cdot2^{\frac{2}{3}}\)的过程怎么来的，可以把不等式的过程写更详细一点么，有点不太懂求求

KKKKK

FGNBGHJUOI 发表于 2021-8-6 17:00
那个\(\frac{x^2}{2^{\frac{2}{3}}}\cdot2^{\frac{2}{3}}+\frac{x}{2^{\frac{1}{3}}}\cdot2^{\frac{1}{ ...

加权的均值不等式：
\(设w_1+w_2+...+w_n=1(w_i\ge0{,}){,}t_i＞0；则有t_1*w_1+t_2*w_2+...+t_n*w_n\ge t_1^{w_1}*t_2^{w_2}*...*t_n^{w_n}\)
往左代入\(t_1=\frac{x^2}{2^{\frac{2}{3}}}{,}w_1=2^{\frac{2}{3}}{,}t_2=\frac{x}{2^{\frac{1}{3}}}{,}w_2=2^{\frac{1}{3}}·4{,}...\)
输出右边式子，把得到的右式一通化简之后即常数

刚才手快写错了，我编辑了一下，现在应该没问题了
\(等号成立条件t_1=t_2=...=t_n\)

FGNBGHJUOI

KKKKK 发表于 2021-8-6 17:12
加权的均值不等式：
\(设w_1+w_2+...+w_n=1(w_i\ge0{,}){,}t_i＞0；则有t_1*w_1+t_2*w_2+...+t_n*w_n\ ...

谢谢详细的过程了 ，那个\(w_1+w_2+w_3+w_4\)好像不等于1，你的式子那个\(t_4\)在\(x=\sqrt[3]{2}\)的时候是\(\sqrt[3]{2}\)好像不等于\(t_1=t_2=t_3\),是哪里少打了什么。。

KKKKK

FGNBGHJUOI 发表于 2021-8-6 17:56
谢谢详细的过程了 ，那个\(w_1+w_2+w_3+w_4\)好像不等于1，你的式子那个\(t_4\)在\(x=\sqrt[3]{2 ...

嗯，你把我原写的系数同时除上它们的总和，这样得到的数总和就是1了

FGNBGHJUOI

KKKKK 发表于 2021-8-6 19:56
嗯，你把我原写的系数同时除上它们的总和，这样得到的数总和就是1了

感觉那个加权均值不等式的右式\(t_1^{w1}\ast t_2^{w2}\ast t_3^{w3}\ast t_4^{w4}\)四是不能得到\(6\cdot2^{\frac{1}{3}}+3\cdot2^{\frac{2}{3}}\)的定值的。只有左边的式子才能得到\(6\cdot2^{\frac{1}{3}}+3\cdot2^{\frac{2}{3}}\)，\(t_1^{w1}\ast t_2^{w2}\ast t_3^{w3}\ast t_4^{w4}\)四个式子相乘能得到两个相加的式子\(6\cdot2^{\frac{1}{3}}+3\cdot2^{\frac{2}{3}}\)么

KKKKK

FGNBGHJUOI 发表于 2021-8-6 21:11
感觉那个加权均值不等式的右式\(t_1^{w1}\ast t_2^{w2}\ast t_3^{w3}\ast t_4^{w4}\)四是不能得到\(6\c ...

能的，你自己试下，然后化简，你不信可以把过程写出来