我解决四色问题的主导思想和方法

雷明85639720

我解决四色问题的主导思想和方法
雷  明
（二○二一年九月二日）

1、把一个地理问题转化成一个数学问题
四色问题因给地图的染色而提出，解决时还得从给地图的染色开始。地图是一个含有“无顶环”（即国中之国）的无割边的特殊的3—正则的平面图。地图的对偶图是一个带有悬挂顶点（也即国中之国）的特殊的极大平面图。地图中的每个顶点都连有3条边，每个面都被若干个面所包围；而极大图的各个面都是三边形面，各顶点都处在一个轮的中心。给地图的面上的染色就是对其对偶图——极大平面图的顶点着色。这就把一个地理问题转化成了数学问题。
2、构形与颜色冲突构形
由于极大平面图的每一个顶点均是处在一个轮的中心位置，所以对极大平面图进行着色时，着色过程中或到达最后时，都总会遇到与要着色的顶点所相邻的顶点全都已着上了四种颜色之一的情况。把这种还有一个顶点未着色，且该顶点又是处在一个轮的中心位置的已部分着色的图就叫做“构形”。未着色的顶点叫待着色顶点，与待着色顶点相邻的其他顶点都叫围栏顶点。当围栏顶点所占用的颜色数小于等于3时，待着色顶点至少还有一种颜色可着；但当围栏顶点所占用的颜色数等于4时，似乎是待着色顶点就无颜色可着了。把这样的构形就叫做颜色冲突构形。但这种构形是可以通过对颜色交换，从围栏顶点中空出一种颜色来进行解决的。看来围栏顶点数是小于等于3的构形是不会出现颜色冲突问题的，而只会是围栏顶点数大于等于4的构形才会出现颜色冲突问题的。
3、把一个无穷问题转化成一个有穷的问题
有人可能会说，围栏顶点数大于等于4的构形可能有无穷多个，永远也是不可能解决完的。但是朋友，你可别忘记，图论中早已证明了任何平面图中都一定含有至少一个顶点的度是小于等于5的。所以度是小于等于5的顶点也就成了平面图的不可避免顶点。以不可避免顶点为待着色顶点的构形就是平面图的不可避免构形。由这些不可避免构形所组成的集合，就是坎泊已经给出的不可避免构形集。也就是说，平面图中6度以上的待着色顶点的构形是可以避免的。在着色时，我们总可以把待着色顶点放在度是小于等于5的顶点之上；或者在着色过程中，若遇到了6度以上的顶点作待着色顶点，且出现了颜色冲突时，总是能够通过移动的方法把待着色顶点移动到度是小于等于5的顶点之上的。这就把一个无穷的问题转化成了一个有穷的问题了。只要研穷4—度和5—度的颜色冲突构形的待着色顶点的着色就够了。
    4、达到了什么程度才算证明了四色猜测是正确的
只要证明了4—度和5—度的两种待着色顶点在各种情况下的不可避免的颜色冲突构形都是可约的，极大平面图的四色问题也就解决了。当然的，地图的四色问题也就解决了。因为可4—着色的极大平面图，经“去顶”或“减边”后所得到的任意平面图的色数，只会比极大平面图更少而不会再增大，所以解决了极大平面图的四色问题，同样的也就解决了任意平面图的四色问题。四色猜测也就被证明是正确的了。
5、色链和可空出颜色的交换
把一条用两种颜色交替着色的道路叫做色链，简称链。交换该链中各顶点的颜色，可以达到改变链中任何一个顶点的颜色的目的。这就是坎泊1879年所创造的颜色交换技术的实质。
四种颜色中，把由A和B构成的色链和由C和D构成的色链叫做一对相反链。因为相反链中没有相同的颜色，所以两条相反链是不能相互穿过的。在一个轮构形中，从任何一个围栏顶点到其所有的对角围栏顶点都没有连通链时，交换从任何一个围栏顶点出发的与其对角顶点的颜色所构成的色链，都可以改变该围栏顶点的颜色，而把该围栏顶点的颜色空出来给待着色顶点V着上。如果围栏顶点中有一条对角链是连通链的时，而与其呈相反链的另一组对角顶点的颜色所构成的色链则一定是不连通的，从这一组不连通链的对角链的任何一个顶点起，交换该对角链，也都一定会空出一种颜色给待着色顶点V的。这就是坎泊证明中所用到的颜色交换方法，即可空出颜色的交换。
6、4—度颜色冲突构形的着色

4—度颜色冲突构形只有一种形式，如图1。这种颜色冲突构形只可能有一条对角链是连通的，所以在任何情况下的这种构形都是可以通过颜色交换的办法给待着色顶点V着上图中已用过的四种颜色之一的。象图1中这样的交换，就是今后进行颜色交换的基础。
7、5—度颜色冲突的构形
这种颜色冲突构形的形式有多种，都是可以通过颜色交换的办法进行解决的。坎泊1879年已经解决过了的不含A—C和A—D双环交叉链的构形，我们现在就不再分析了。现在我们只着重分析坎泊还没解决的、含有A—C和A—D双环交叉链的构形有多少种颜色冲突构形了。因为连通的A—B链和C—D链都与待着色顶V构成了一个圈，所以叫做双环交换叉链，如图2。

有了A—C和A—D双环交叉链，肯定是不能交换该 两条链的，也是不能移去A、C、D三色之一的。有了双环交叉链又是造成不可连续的移去两个同色B的必要条件，因为没有双环交叉链，一定是可以连续的移去两个同色B的可约构形。但含有双环交叉链的构形，却并不是不能连续的移去两个同色B的充分条件，因为即就是含有双环交叉链，也不一定都是不可连续的移去两个同色B的颜色冲突构形。如图2的“九点形”构形和其他的“九点形”构形，其中虽然都含有双环交叉链，但却是可以连续的移去两个色B的可约构形，是可以把B给待着色顶点V着上的。
有含双环交叉链的图，只所以不能连续的移去两个B，是因为仅管两个B都与它们的对角顶点的颜色构成的色链不连通，但从一个B交换了关于B的链后，又会新生成从另一个B到其对角顶点的连通链，因而不能连续的移去两个B。先交换那个B都可得到相同的结果。赫渥特就是企图在想紧接着连续的移去第二个B时，交换的是新生成的连通链，所以没有对他构造的赫渥特图成功的进行4—着色。虽然如此，但他却找到了坎泊证明中的漏洞，也给后人留下了一个百年不解的很大难题。
8、解决5—度颜色冲突构形的关键问题
不含双环交叉链的5—度待着色顶点的颜色冲突构形，坎泊已早在1879年都已经给以解决了，但至今仍有含有双环交叉链的5—度待着色顶点的颜色冲突构形还没有得到解决。

既然含有双环交叉链是不能连续的移去两个同色B的必要条件，那么就得想办法破环这个必要条件的存在。我们发现图2中有四个关键的顶点2A、8A、4D和5C（图2中用加大了的顶点表示出来），同时也发现只要这四个顶点中的任一个顶点的颜色发生了变化，图中就不再存在双环交叉的A—C链和A—D链了。没有了双环交叉链，当然就是可约的构形了。
但这四个顶点的颜色可不是随便的想改动就可以改动的，也必须要有一定的条件才行。比如要想改变2A或8A的颜色时，就必须要有一条经过了4D和5C的、同时又能把2A和8A分隔在其两侧的环形的C—D链，如图3。以不至于在交换了经过2A（或8A）的A—B链时， 8A和2A的颜色都发生改变，都成为B而形成新的含有B—C链和B—D链的双环交叉链，而不能断掉双环交叉链。
又如要想改变5C或4D的颜色时，也必须要有一条经过了2A或8A的环形的A—B链，以把经过5C和4D的C—D链与其他的C—D链分隔在A—B环的两侧，如图4、图5和图6。以不至于在交换C—D链时，交换的是一条环形的C—D链，而不能断掉双环交叉链。


图3、图4、图5和图6都是既含有双环交叉链，又含有经过了关键顶点的A—B环形链和C—D环形链的构形。这统统都是一类构形，当然另一类构形就是只含有双环交叉链而不含有经过了关键顶点的环形链的构形了，如图7。无环形链，就不可能直接改变关键顶点的颜色而使双环交叉链断开了。
9、四色问题的最终解决
两大类不可免的颜色冲突构形，非此即彼，不可能再有别的情况了。同样的，含有经过了关键顶点的环形链的一类构形中，也是只有以上的几种情况，即只有一条、一种链的，多种、多条链同时存在的构形等。总之都是有环形链存在的构形，也是非此即彼，也不可能再有别的情况了。不管是只有一条，还是有多条，也不管是有一种环形链，还是有多种环形链（如图4和图5，既有A—B环形链（加粗边），又有C—D环形链（细线边）），总之，都是属于有环形链的构形。这就是5—度待着色顶点中的不可避免的颜色冲突构形集合，且是完备的。这几种情况的构形的待着色顶点的着色问题解决了，四色问题也就解决了。
的确，这几种情况都是可以通过使用坎泊1879年创造的颜色交换技术，从围栏顶点中空出一种颜色来给待着色顶点V着上的。含有经过了关键顶点的环形链的构形用断链交换法解决，不含有经过关键顶点的环形链的构形用转型交换法解决。断链交换法最多进行3次颜色交换，转型交换法最多进行6次颜色交换（其中4次是转型交换，两次是可空出颜色的交换），都可以使构形转化成可以连续的移去两个同色的可约构形。由于篇幅和时间问题，具体是如何交换的，这里也就不再一一具体的论述了。可以告诉大家，请大家放心，一定是可以做到的，都是经过了证明是可以做到的。

雷  明
二○二一年九月二日于长安

雷明85639720

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雷明85639720

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雷明85639720

请拿出来看一看吧！要实家伙，光唱高调是不行的！

雷明85639720

朱明君：
1、你都是说些无用的话！什么是你的梯子证法呢，说来听听！
2、你心中无底，放来放去，都是些屁话！没有一个实际的东西！

雷明85639720

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雷明85639720

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雷明85639720

1、你这个图就不是数学图论中所说的“图”，因为其中没有顶点。图论中的图是把顶点放在第一位的，有了顶点，它就可以代表某个事物，事物与事物之间的联系就用边表示，这就是图论中的“图”。
2、我只能说你这个图是一个海岛上有一个区域包围另一个区域的地图，是一个中国之国的地图（图中只有两个国家），但四周都是海洋。一个是海洋国家，一个是内陆国家。
3、什么是“点区域”呢？你说的可能离四色问题太远了吗？
请你解释你说的“任意1张地图根据四色定理都可以归纳为两个相邻的内外点圈区域组成，即区域包域。”和“任意1张地图根据四色定理都可以归纳为1个圈区域包围另1个圈区域组成。”这两句话。
4、胡闹！
5、再说得不好听一点，你这就是两个没有画同心的同心园。

雷明85639720

请用一个具体的地图解释一下你的两个同心园。不要光唱高调，要多研究点具体的东西！

朱明君

任意1张地图根据四色定理都可以归纳为两个同心圆上带点的图，其中每个同心圆圈上带点个数大于等于2，即圈上每1个点代表地图上的1个区域，所以只要解决好这两个同心圆之间的点着色问题，就证明了该定理。