可逆阵M为什么不能有零行？

wufaxian

右逆矩阵等于左逆矩阵， 这就是本段落开头提到的注释 2。所以具有一整组 主元的方形矩阵永远有双边逆矩阵。

现在反过来证明若 AC = I，则 A 必定有 n 个主元。

1. 若 A 没有 n 个主元，消元法会得到一个零行。

2. 这些消元步骤由可逆矩阵 M 取得，所以 MA 的一行是零。

3. 若 AC = I，则 MAC = M，MA 的零行乘 C 得到 M 本身的零行。

4. 可逆矩阵 M 不可能有零行！若 AC = I，则 A 必定有 n 个主元。

上述的理论需要 4 个步骤，但是结果很短很重要。C 就是 A逆 。




—————-请看上方下划线。前三步在MA有零行的假设下都成立，为什么到了第四步，突然宣布“可逆矩阵 M 不可能有零行”？以上四步应该采用了反证法。反证法必然要出现“矛盾”来证假设命题“A没有n个主元”不成立。以上四步“矛盾”出现在哪里？

luyuanhong

如果一个方阵中有零行，那么这个方阵的行列式必定等于零。

而行列式等于零的方阵，必定不可逆。

所以，当一个方阵可逆时，它必定没有零行。

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-9-6 08:51
如果一个方阵中有零行，那么这个方阵的行列式必定等于零。

而行列式等于零的方阵，必定不可逆。

谢谢lu老师的回复。根据你的讲解，我重新看了一下上面的过程。我明白自己卡在两个点上了。
1、所谓A没有n个主元的意思是A矩阵从左上到右下的对角线中某个元素为0，是么？如果是指的左上到右下的主对角线，那么指的是哪个“阶段”的主对角线呢？是下图篮框当中原始矩阵的主对角线？还是高斯乔丹消元法倒数第二步下图绿框中的主对角线？
我看到有以下结论：如果n阶矩阵A有n个主元的话那么Ax=\(e_{i }\)有唯一的解，\(e_{i }\)是单位矩阵I的某一列。这句话中的“主元”的含义似乎指的是下图中红框那个“阶段”矩阵的主元


2、如果第一个问题的答案是 肯定的，那么为什么没有n个主元的矩阵A经过初等变换后就会产生0行呢？这个在书本上没有给出证明。

其次在书本上提了一句，高斯乔丹消元法在进行到倒数第一步的时候（除了主元，其他都是0，此时主元还没有变成1）这是主元相乘得到的结果就是原矩阵的行列式计算结果。为什么经历了一系列初等变换后，行列式“信息”一点没丢失呢？这矩阵怎么这么坚强。
如果是个三阶矩阵，其行列式对应一个平行六面体。相当于初等变换后，平行六面体的体积不变。那平行六面体的底面积和高是否也都不变呢？

liangchuxu

提些个人看法，供参考

wufaxian

liangchuxu 发表于 2021-9-7 08:25
提些个人看法，供参考

谢谢你的回复。关于你回复的问题1。我觉得是我提问的方式不严谨。造成问题失焦。故我对问题进行了修改。

即：为什么一个矩阵A经过高斯消元法达到以下形式：除主元以外，其他元素都是0（如同三楼帖子绿框的状态） ，在这种情况下新矩阵B的行列式等于原矩阵A的行列式。

      这个结论是否可以从几何的角解释？从三楼帖子看。一开始有空间三个列向量（2，-1，0）(-1,2,-1)(0,-1,2)构建的平行六面体。经过高斯消元后变成三个新的列向量（2,0,0）(0,3/2,0) (0,0,4/3) ，这三个新的列向量全在坐标轴上，其组成的六面体，体积跟高斯消元前的平行六面体体积一样，都是4.这应该不是偶然。不知道从几何的角度是否可以解释其必然性？

明确一下：初等变换是工具，不是目的。即初等行变换是为了达成高斯消元的工具。不是任意使用。如果任意使用，如你所举的例子。单乘某一行，矩阵A的行列式就发生了变化。

liangchuxu

wufaxian 发表于 2021-9-7 13:03
谢谢你的回复。关于你回复的问题1。我觉得是我提问的方式不严谨。造成问题失焦。故我对问题进行了修改 ...

前面两个问题，按高斯消元法来理解是可以的。高斯消元法----特殊的初等行变换---不改变原方程组系数方阵行列式值。

luyuanhong

三种行初等变换：（1）一行乘以一个非零的常数（2）一行乘以某个常数加到另一行（3）两行交换位置，

都不会使得行列式从非零变成等于零。所以，原来行列式不等于零，初等变换后，行列式仍然不会等于零。