E 是正三角形 BFC 内的一点，已知 ∠BFE=42°，∠BCE=12°，求 ∠FBE 的度数

鞋子睿

如图BFC是正三角形求∠FBE度数

波斯猫猫

题：E 是正三角形 BFC 内的一点，已知 ∠BFE=42°，∠BCE=12°，求 ∠FBE 的度数。

思路：令FB=1，EF=x，EB=y，EC=z，∠FBE=θ，在△EFC、△EFB、△EBC中，

由条件和正弦定理分别有：

x/sin48°=z/sin18°=1/sin114°，x/sinθ=y/sin42°，z/sin(60°-θ)=y/sin12°，

即x=2sin24°，z=sin18°/cos24°，x=ysinθ/sin42°，z=ysin(60°-θ)/sin12°.

消去x、y、z化简整理得,2sin18°sin12°sinθ=cos6°sin(60°-θ)，

即(cos6°-√3/2)sinθ=√3cos6°cosθ/2-cos6°sinθ/2，或tanθ=cos6°/(√3cos6°-1).

故θ=arctan[cos6°/(√3cos6°-1)]           （数据未认真核对）

王守恩

波斯猫猫 发表于 2021-9-10 09:00
题：E 是正三角形 BFC 内的一点，已知 ∠BFE=42°，∠BCE=12°，求 ∠FBE 的度数。

思路：令FB=1，EF=x ...

答案是对的：θ=arctan[cos6°/(√3cos6°-1)] =54°

这样的算式只有123个。
可参考帖子《第124个算式，可以有吗？》，其中
066：sin06°sin42°sin048°=sin12°sin18°sin54°
这样的算式应该有124个。可惜第124个算式就是找不到
求助哪位好心的网友帮忙找一找，了却一桩心事。谢谢！

lihp2020

这个 这个 我一定认为 有几何方法 不要arctan[cos6°/(√3cos6°-1)]  这个太复杂了
由于你们已经算出是54°  
我们大概 看看 现有的数据 看看有没得这些数据有啥关系
1 等边 就有60°  两个角 42° 12°
猜测 就有 42°-30°=12°    60° -12°/2 =54°
这些数据推测  30° 就是 等边三角形的一个高线  12°/2 应该也有个角平分线

按照上面想法画辅助线  

鞋子睿

王守恩 发表于 2021-9-10 14:32
答案是对的：θ=arctan[cos6°/(√3cos6°-1)] =54°

这样的算式只有123个。

个人认为可用旋转几何法解题，正在尝试。。。

FGNBGHJUOI

这些问题好像是角格点问题，以下的过程我是在网上搜的，你可以在网上搜一下，有很多的解答，我发的图片跟你问的解法类似，你模仿一下

王守恩

鞋子睿 发表于 2021-9-11 08:33
个人认为可用旋转几何法解题，正在尝试。。。

E 是正三角形 BFC 内的一点，已知 ∠BFE=42°，∠BCE=12°，求 ∠FBE 的度数(54°)。

我还是喜欢这不用脑子的(电脑肯定有答案)，如何化简，看个人造化，至少有答案指路。

\(\frac{\sin∠ECB\sin∠EFC\sin∠EBF}{\sin∠ECF\sin∠EFB\sin∠EBC}=\frac{\sin(12^\circ)\sin(18^\circ)\sin(\theta)}{\sin(48^\circ)\sin(42^\circ)\sin(60^\circ-\theta)}=1\)

求助：大家还有烧脑子的几何方法吗？