|
|
本帖最后由 cuikun-186 于 2021-9-22 07:46 编辑
（ 展示早年发表的一篇文章，今日修改之文章）
有埃氏双筛法谈谈哥德巴赫问题
崔坤
中国青岛即墨，266200，E-mail:cwkzq@126.com
摘要：运用埃氏双筛法证明表法数r2（N） ≥1，用z（N）表示主项，R（N）表示余项，
那么r2（N）=z（N）+R（N），
R（N）=z（N）*a，a是相对误差，巧妙地化解了R（N），
获得：r2（N）=（N/2）∏mr=ar≥1，p>2， p<√N。
关键词：哥德巴赫猜想，相对误差，真实剩余比，整除剩余比，渐近剩余比
分类号：0156.1
命题*：哥德巴赫（C.Goldbach）问题是1742年他写信给欧拉时提出来的。
在信中，他提出了将整数表示为素数之和的猜想。
这个猜想可以用略为修改了的语言叙述为：
（A）：每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和。
（B）：每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。
显然，命题（B）是命题（A）的推论。
哈代与李特伍德在1922年还进一步猜测：
r 2（N）=2∏（p-1）/（p-2）∏（1-1/（p-1）^2）*N/（lnN）^2（1+o（1））， 当2|N
p|N，p>2 p>2，
哈代与李特伍德的猜测式又叫渐近式，可以简化为：
真值=主项+余项，由于余项不可估，最终导致失败于细节
但是我们可以运用埃氏筛法推广为双筛法：
奇数列A：1，3，5，7，…，（2n-1）
互逆数列B：（2n-1），….，7，5，3，1
显然2n=A+B，在这个基础上那么哈代与李特伍德的渐近式变为：
运用埃氏双筛法给出的真值表法数公式：
r2（N）=（N/2）∏（1-1/p）∏（1-2/p）+R（N）
p>2，p<√N，p|N，p>2，p<√N，p|/N（不整除N）
R（N）=（N/2）∏（1-1/P）∏（1-2/P）*a
p>2，p<√N，p|N，p>2，p<√N ，p|/N（不整除N）
公式复杂，用z（N）表示主项，R（N）表示余项
那么有真值公式r2（N）=z（N）+R（N），R（N）=z（N）*a，
a是相对误差，其复杂性，其实就是：
【1】a=0时，真实剩余比m与能够整除偶数N的奇素数的剩余比z相等，
即a=（m-z）/z=0，m=z=1-1/p
【2】a≠0时，真实剩余比m与不能整除偶数N的奇素数的渐近剩余比h的差与h的比值≠0，
即a=（m-h）/h≠0 ，
m=m1m2…mi=∏mi
h=h1h2h3…hi=∏（1-2/p）
p>2，p<√N，p|/N
即：
a=（m-h）/h=（m1m2…mi-h1h2…hi）/h1h2…hi
=∏mi/∏（1-2/p）-1
p<√N，p|/N
那么：
r2（N）
=z（N）+R（N）=z（N）+z（N）*a
=z（N）∏mi/∏（1-2/p）
p<√N，p|/N
r2（N）=z（N）∏mi/∏（1-2/p）=（N/2）∏（1-1/p）∏（1-2/p）∏mi/∏（1-2/p）
p<√N，p|/N p>2，p<√N， p|N，p<√N，p|/N p<√N，
r2（N）=（N/2）∏（1-1/p）∏mi
p>2，p<√N，p|N
用mr表示奇素数除偶数N的真实剩余比，则：
r2（N）=（N/2）∏mr
双筛法步骤：
设奇素数Pr<√N,那么有｛Pr｝奇素数集合，在任何大偶数N=2n中，
根据埃氏双筛法：
去掉奇素数3的倍数后，剩余a1个奇数，
那么有3的真实剩余比：m1=a1/n；
a1个奇数中再去掉5的倍数后剩余a2个奇数，那么有5的真实剩余比m2=a2/a1;
a2个奇数中去掉7的倍数后剩余a3个奇数，那么7的真实剩余比m3=a3/a2;
依次进行双筛至P(r-1)剩余奇数a(r-1) 个奇数，则P(r-1)的真实剩余比为:a(r-1)/a(r-2)；
最后止于Pr双筛后的剩余奇数ar个奇数，,那么Pr的真实剩余比为：mr=ar/a(r-1)
这里的奇素数p也可能提前终止双筛，那么有p至Pr的素数的真实剩余比都是1。
根据乘法原理把这些结果代入真值计算公式：r2(N)=(N/2)∏mr
r2(N)=n*a1/n*a2/a1*a3/a2*…* a(r-1)/a(r-2)*ar/a(r-1)=ar，这里约定1是素数。
例如：
10：
[√10]=3，3|/10，m=3/5，
根据真值公式：
r2(N)=(N/2)∏mr得：r2(10)=(10/2)*m=5*3/5=3
r2(10)=3为真
70：
[√70]=8，｛Pr｝={3,5,7},
3|/70，m1=13/35
5|70, m2=10/13
7|70, m3=10/10
根据真值公式得：
r2(70)
=(70/2)*m1*m2*m3
=35*13/35/10/13*10/10
=10
r2(70)=10为真
34：
[√34]=5，｛Pr｝={3,5},
3|/34，m1=7/17
5|/34, 5的倍数已被3全部筛掉，
即5的倍数没有剩余，但真实剩余比m2=7/7=1
根据真值公式得：
r2(34)
=(34/2)*m1*m2=17*7/17*7/7=7
r2(34)=7为真
1020：
{Pr}={3,5,7,11,13,17,19,23,29,31}，r=10
3|1020,m1=340/510
5|1020,m2=272/340
7|/1020,m3=196/272
11|/1020,m4=166/196
13|/1020,m5=141/166
17|1020,m6=131/141
19|/1020,m7=116/131
23|/1020,m8=108/116
29|/1020，m9=106/108
31|/1020，m10=104/106
根据真值公式：r2(N)=(N/2)∏mr
r2(1020)
=(1020/2）*m1*m2*m3*m4*m5*m6*m7*m8*m9*m10
=510*340/510*272/340*196/272*166/196*141/166*131/141*116/131*108/116*106/108*104/106
=104
r2(1020)=104
…………………
参考文献：
[1]华罗庚《数论导引》，科学出版社1957-07
[2]王元《谈谈素数》，哈尔滨工业大学出版社，2011-2 |
|
IP卡
狗仔卡
发表于 2021-9-21 17:00
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
显身卡
楼主