x = (x1, x2, x3, x4)元素任意排列组合，能生成三维空间的方案是什么？

wufaxian

选择\(R^{4 }\)
的 x = (x1, x2, x3, x4)，它有 24 种排列顺序，比如(x2, x1, x3, x4)与(x4, x3, x1, x2 )。这 24 个向量，包含 x 本身，生成一个子空间 S，求出特定的向量 x 使得 S 的维度是(a) 0 (b) 1 (c) 3 (d) 4


答案：The dimension of S spanned by all rearrangements of x is
(a) zero when x = 0
(b) one when x = (1, 1, 1, 1)
(c) three when x = (1, 1, -1, -1) because all rearrangements of this x are perpendicular to (1, 1, 1, 1)
(d) four when the x’s are not equal and don’t add to zero. No x gives dim S = 2. I owe this nice problem to Mike Artin—the answers are the same in higher dimensions: 0, 1, n-1, n.


疑问:
1、关于(c)排列组合一共有6种吧？应该如何计算呢？其次答案给出的理由是任意排列组合都垂直于(1, 1, 1, 1) ，则不能成为(c)各种排列组合生成的向量只有三组是独立 的理由吧？严格说还是要讲所有向量组成矩阵并消元，看看秩有多少才是有效的证明吧？

2、关于(d)答案给出的限制也不对吧？（1,0,0,0)也可以排列组合生成四维空间吧？