关于二元函数的一个问题

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给定二元函数\(f\left( x{,}y\right)\)，\(x\ \in\left[ 0{,}1\right]\)，\(y\ \in\left[ 0{,}1\right]\)，已知：
（1）对于任意常数\(c\)，\(f\left( x{,}c\right)\)是关于\(x\)的连续函数。
（2）对于任意常数\(t\)，\(f\left( t{,}y\right)\)是关于\(y\)的严格单调递增连续函数。
（3）\(f\left( x{,}0\right)=0\)，\(f\left( 0{,}y\right)=y\)，\(f\left( 1{,}y\right)=0\)。
（4）当\(x\ne1\)，\(y\ne0\)时，\(f\left( x{,}y\right)>0\)。

问：
对于每一个固定的\(y_0\)，\(f\left( x{,}y_0\right)\)在\(\left[ 0{,}1\right]\)上一定有一个最大值\(g\left( y_0\right)\)。
当\(y\)趋于0时，\(g\left( y\right)\)是否趋于0？

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这个应该是成立的，但要比较好的证明