a,b,c 是三个互相正交的三维非零向量，证明：aa'／(a'a)+bb'／(b'b)+cc'／(c'c)=Ｉ

wufaxian

求出在 a 3= (2, -1, 2)的投影矩阵 P3，验证 P 1+ P 2+ P 3= I。这 是因为基底 a1 , a2 , a 3 是正交。a 1= (-1, 2, 2)的直线以及 a 2= (2, 2, -1)。所谓投影矩阵是P=\(\frac{aa^{T }}{a^{ T}a}\)

我验证之后确实如此这样形成的P1，P2，P3分别是

P1=\(\frac{1}{9}\)\(\begin{bmatrix}
1&-2&-2\\
-2&4&4\\
-2&4&4
\end{bmatrix}\)

P2=\(\frac{1}{9}\)\(\begin{bmatrix}
4&4&-2\\
4&4&-2\\
-2&-2&1
\end{bmatrix}\)

P3=\(\frac{1}{9}\)\(\begin{bmatrix}
4&-2&4\\
-2&1&-2\\
4&-2&4
\end{bmatrix}\)

P1+P2+P3=\(\frac{1}{9}\)\(\begin{bmatrix}
9&0&0\\
0&9&0\\
0&0&9
\end{bmatrix}\)

先不去看每个矩阵的系数1/9 。就拿P1 P2 P3矩阵的第一列来说，是3个互相垂直的向量。但是模长并不一样。矩阵相加可以看成矩阵对应的列向量相加。以P1 P2 P3三矩阵的第一列为例：这三个彼此垂直，模长不同的三个向量相加后形成一个新的列向量（9,0,0）正好落在x轴上。这是必然么？

空间三个彼此垂直的向量，模长不同。相加后形成的新向量就一定会落在某个坐标轴上么？显然并不一定如此吧？那么为什么三个彼此垂直的向量a1 a2 a3形成的投影矩阵P1 P2 P3相加后形成的新矩阵的列向量就必定会落在坐标轴上呢？

P1 P2 P3这三个矩阵的对应列向量彼此垂直，这当然是必然的。其原因是a1 a2 a3彼此垂直。而投影矩阵的列向量只不过是对应向量的线性“缩放”而已。比如P1的各列就是向量a1的线性“缩放”而已。

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-10-6 19:10

谢谢lu老师的巧妙解答。我看后明白了。但是你回复前我就想不到。向你学习。请问你是怎么想到将需要证明的结论分解成下面这一步的？




很多数学问题都有这么一层不容易捅破的窗户纸。你是怎么想到的。