\(请教高手，\sum_{n=1}^{∞}\frac{sin(2n-1)}{2n-1}=\frac{\pi}{4}\)

awei

\[请教高手，\sum_{n=1}^{∞}\frac{sin(2n-1)}{2n-1}=\frac{\pi}{4}\]

Nicolas2050

这欧拉不是解决了吗？无穷分析引论里面。

yichang

\[
\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin(2n+1)}{2n+1}
=\Im\sum_{n=0}^\infty\frac{e^{(2n+1)i}}{2n+1}
=\Im\operatorname{arctanh}(e^i)
=\Im\left[\frac{1}{2}\ln{\frac{1+e^i}{1-e^i}}\right]
=\frac{\pi}{4}
\]

awei

Nicolas2050 发表于 2021-10-9 23:51
这欧拉不是解决了吗？无穷分析引论里面。

谢谢老师回帖，无穷分析引论这本书还不好找

awei

yichang 发表于 2021-10-10 00:26
\[
\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin(2n+1)}{2n+1}
=\Im\sum_{n=0}^\infty\frac{e^{(2n+1)i}}{2n+1}

谢谢老师回帖，反双曲正切函数前边那个符号什么意思，取实部的符号吗

luyuanhong

awei 发表于 2021-10-10 22:58
谢谢老师回帖，反双曲正弦函数前边那个符号什么意思，取实部的符号吗

取虚部，一般写成 Im　。

王守恩

yichang 发表于 2021-10-10 00:26
\[
\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin(2n+1)}{2n+1}
=\Im\sum_{n=0}^\infty\frac{e^{(2n+1)i}}{2n+1}

请教高手，相似的问题。谢谢！

\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin^2(n)}{n^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n}=\frac{\pi+1}{2}\)

yichang

\[\begin{aligned}
\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin{(nx)}}{n}
&=\sum_{n=1}^\infty\frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2in}
=\frac{1}{2i}\ln\left(\frac{1-e^{-ix}}{1-e^{ix}}\right)
=\frac{\pi-x}{2} \\
&\stackrel{x=1}{\implies}
\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin{(n)}}{n}=\frac{\pi-1}{2}
\end{aligned}\]

\begin{alignat*}{3}
& & \int_0^x \sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n}\,\mathrm{d}x
&=\int_0^x \dfrac{\pi-x}{2}dx& \\
&\implies& \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1-\cos(nx)}{n^2}\right)&=\frac{2\pi x-x^2}{4}& \\
&\implies& \sum_{n=1}^\infty \frac{2\sin^2(\frac{nx}{2})}{n^2}&=\frac{2\pi x-x^2}{4} & \\
&\stackrel{x=2}{\implies}& \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2(n)}{n^2}&=\frac{\pi-1}{2} &
\end{alignat*}

王守恩

yichang 发表于 2021-10-11 14:05
\[\begin{aligned}
\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin{(nx)}}{n}
&=\sum_{n=1}^\infty\frac{e^{inx}-e^{-inx}} ...

谢谢高手！慢慢来消化。这个可以有吗？

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n^2)}{n}\)

跟这串数的奇偶有关。\(a(n)=\frac{n^2-\mod(n^2,\ \pi)\ \ }{\pi}=\lfloor\frac{n^2}{\pi}\rfloor\)
{0, 1, 2, 5, 7, 11, 15, 20, 25, 31, 38, 45, 53, 62, 71, 81, 91, 103, 114, 127, 140, 154, 168, 183, 198, ...}
\(a(n)=\mod(\frac{n^2-\mod(n^2,\ \pi)\ \ }{\pi},\ \ 2)=\mod(\lfloor\frac{n^2}{\pi}\rfloor,\ \ 2)\)
{0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0,...}
这好像是二进制？

王守恩

王守恩 发表于 2021-10-12 09:53
谢谢高手！慢慢来消化。这个可以有吗？

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n^2)}{n}\)

谢谢高手！慢慢来消化。这样可以吗？

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{\sin(n)\ }{n}-\frac{\sin(n^2)\ }{n}\bigg)=0.892215\)

\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n^2)\ }{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)\ }{n}-0.892215=\frac{\pi-1}{2}-0.892215=0.178503\)