行列式|AB|=|A||B|的证明对么

wufaxian

看了几本书关于行列式性质：|AB|=|A||B|的证明。总感觉晕晕乎乎，觉得没完全理解透。在此把看后的证明用自己的理解，组织语言复述一遍。请老师看看对不对。是不是存在循环论证或逻辑漏洞。

令A是一个方阵．
a、若A的某一行的倍数加到另 一行得矩阵B, 则detB = detA  这个变换对应一个矩阵\(E_{a}\),计算可得 |\(E_{a}\)|=1
b、若A的两行互换得矩阵B, 则detB = -det A.   这个变换对应一个矩阵\(E_{b}\), 计算可得|\(E_{b}\)|=-1
c、若A的某行乘以k倍得到矩阵B, 则detB = k·det A .  这个变换对应一个矩阵\(E_{c}\), 计算可得|\(E_{c}\)|=k

由上述a结论可知，|A|=|B|  ,\(E_{a}\)A=B,所以又有|\(E_{a}\)A|=|B|=|A|=1*|A|，因为|\(E_{a}\)|=1，所以存在|B|=|A|=1*|A|=|\(E_{a}\)|*|A|

由上述b结论可知，|A|=-|B|，\(E_{b}\)A=B，所以又有|\(E_{b}\)A|=|B|=-|A|=-1*|A|,因为|\(E_{b}\)|=-1，所以存在|B|=-|A|=-1*|A|=|\(E_{b}\)|*|A|

由上述c结论可知，k|A|=|B|，\(E_{c}\)A=B，所以又有|\(E_{c}\)A|=|B|=k|A|,因为|\(E_{c}\)|=k，所以存在|B|=k|A|=|\(E_{c}\)|*|A|

由上可知，只要是初等变换对应的矩阵E，只要EA=B成立，则任何|EA|=|B|=|E||B|恒成立！

由可逆矩阵定理可知，任何可逆矩阵C，都可以写成若干初等矩阵与单位矩阵I乘积的形式。即：C=\(E_{1}\)\(E_{2}\)……\(E_{n}\)
因此根据上面蓝色字体的推论|C|=|\(E_{1}\)\(E_{2}\)……\(E_{n}\)I|=|\(E_{1}\)| |\(E_{2}\)|……|\(E_{n}\)|*1
因此只要C是可逆矩阵，根据红色字体结论,两个可逆矩阵C和D
|CD|=|\(E_{1}\)\(E_{2}\)……\(E_{n}\)D|

那么根据上面蓝色字体的结论。可进一步写成
=|\(E_{1}\)||\(E_{2}\)……\(E_{n}\)D|=|\(E_{1}\)\(E_{2}\)||……\(E_{n}\)*D|=|\(E_{1}\)\(E_{2}\)……\(E_{n}\)| |D|=|C| |D|

luyuanhong

对，不错！

wufaxian

luyuanhong 发表于 2021-10-22 17:10
对，不错！

lu老师这是我目前所看的书中的证明。虽然我自己写过一遍证明过程。但是与下图的路径不同。我现在看截图中的证明过程。仍不知道他的内在逻辑是什么？例如，“ 当 A 的两个行交换，AB 同样的两个行也会交换，”。这必然成立么？即便成立，又能说明什么问题？和待证明的内容有什么关系？或者他是用了什么高阶的数学知识？