求自然数列 A＝{1,2,6,7,9,10,11,…}，B={0,3,4,5,8,12,…} 的通项公式

sheen328

有两个自然数数列A、B， A＝{1、2、6、7、9、10、11...} ，B={0、3、4、5、8、12...} 。

A中元素：2的奇数倍、B中元素中乘以2加1两种组成，B中元素：2的偶数倍、A中元素中乘以2加1两种组成，

求A、B的通项公式？

lihp2020

A B  除了0(0 是一个奇葩的数字暂时不考虑)
能够发现
AB的并集 为全体正整数  
AB的交集 为空集
可以考虑 贝蒂定理  来搞 但是 我现在能力 还有点不行   
我反正想的就是贝蒂定理

王守恩

lihp2020 发表于 2021-10-26 18:55
A B  除了0(0 是一个奇葩的数字暂时不考虑)
能够发现
AB的并集 为全体正整数  

电脑可以出来数字串，但出不了通项公式。

A={1, 2, 6, 7, 9, 10, 11, 14, 17, 18, 22, 25, 26, 27, 30, 31, 33, 34, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 49, 50,
  54, 57, 58, 59, 62, 65, 66, 70, 71, 73, 74,  75, 78, 81, 82, 86, 89, 90, 91,  94, 97, 98, 102, 103, 105,
106, 107, 110, 111, 113, 114, 118, 121, 122, 123, 126, 127, 129, 130, 134, 135, 137, 138, 139, 142,
145, 146, 150, 153, 154, 155, 158, 159, 161, 162, 166, 167, 169, 170, 171, 174, 175, 177, 178, 182,
185, 186, 187, 190, 191, 193, 194, 198, 199, 201, 202, 203, 206, 209, 210, 214, 217, 218, 219, 222,
225, 226, 230, 231, 233, 234, 235, 238, 239, 241, 242, 246, 249, 250, 251, 254, 257, 258, 262, 263,
265, 266, 267, 270, 273, 274, 278, 281, 282, 283, 286, 287, 289, 290, 294, 295, 297, 298, 299, 302,
303, 305, 306, 310, 313, 314, 315, 318, 321, 322, 326, 327, 329, 330, 331, 334, 337, 338, 342, 345,
346, 347, 350, 353, 354, 358, 359, 361, 362, 363, 366, 367, 369, 370, 374, 377, 378, 379, 382, 385,
386, 390, 391, 393, 394, 395, 398, 401, 402, 406, 409, 410, 411, 414, 415, 417, 418, 422, 423, 425,
426, 427, 430, 431, 433, 434, 438, 441, 442, 443, 446, 447, 449, 450, 454, 455, 457, 458, 459, 462,
465, 466, 470, 473, 474, 475, 478, 481, 482, 486, 487, 489, 490, 491, 494, 495, 497, 498,......

B={0, 3, 4, 5, 8, 12, 13, 15, 16, 19, 20, 21, 23, 24, 28, 29, 32, 35, 36, 37, 40, 44, 45, 48, 51, 52, 53,
  55, 56,  60, 61,  63,  64, 67, 68 , 69, 72, 76, 77, 79,  80, 83, 84, 85, 87, 88, 92, 93, 95, 96, 99, 100,
101, 104, 108, 109, 112, 115, 116, 117, 119, 120, 124, 125, 128, 131, 132, 133, 136, 140, 141, 143,
144, 147, 148, 149, 151, 152, 156, 157, 160, 163, 164, 165, 168, 172, 173, 176, 179, 180, 181, 183,
184, 188, 189, 192, 195, 196, 197, 200, 204, 205, 207, 208, 211, 212, 213, 215, 216, 220, 221, 223,
224, 227, 228, 229, 232, 236, 237, 240, 243, 244, 245, 247, 248, 252, 253, 255, 256, 259, 260, 261,
264, 268, 269, 271, 272, 275, 276, 277, 279, 280, 284, 285, 288, 291, 292, 293, 296, 300, 301, 304,
307, 308, 309, 311, 312, 316, 317, 319, 320, 323, 324, 325, 328, 332, 333, 335, 336, 339, 340, 341,
343, 344, 348, 349, 351, 352, 355, 356, 357, 360, 364, 365, 368, 371, 372, 373, 375, 376, 380, 381,
383, 384, 387, 388, 389, 392, 396, 397, 399, 400, 403, 404, 405, 407, 408, 412, 413, 416, 419, 420,
421, 424, 428, 429, 432, 435, 436, 437, 439, 440, 444, 445, 448, 451, 452, 453, 456, 460, 461, 463,
464, 467, 468, 469, 471, 472, 476, 477, 479, 480, 483, 484, 485, 488, 492, 493, 496, 499, 500, ........

cgl_74

一个递推方式的解法，供讨论。形式复杂了些，不知道是否有更简洁的表示方法。

玉树临风

年轻人不讲武德

luyuanhong

楼上 cgl_74 的解答很好！已收藏。

lihp2020

\(a_n=4a_{n-2}+3\)   

这个我觉得不对    看王守恩 的数据  其中 { 201, 202, 203, 206, 209, 210} 这个一段   
其中很多一段数据 几乎都是差不多连续  后面的数据 都满足不了\(a_n=4a_{n-2}+3\)  当n偏大时

还有能很多满足  \(a_n=a_{n-2}+2\)  

lihp2020

而且 看 王守恩 就瞄一眼 没认真看 感觉  在 任意区间 几乎  A集合 和B集合各占一半
如果有通项公式 我猜 公式 很容易是An=2n+sin（***N）+cos（***N）  这种样式 当然我还认为通项公式不是那么好求 退而求其次
1
【 在 任意区间 几乎  A集合 和B集合各占一半】
在【1,2^N】 区间内一定是 A B 各占一半(未证明 我猜是对的)
2  给定任意一个数 一定 有方法 判断 在A中还是B中
  这个终结就是 不要用 递归思想  直接把这个数写成2进制 看2进制序列满足什么特性
（我猜 就是 不能有前3位 不能连续的出现两个1 或者 两个0）？？
3 在给的一个数  求 它在A\B集合的第几个？？
4 就A几个的第n个是啥？？（就是通项公式 可能写不出来 但是 可以用方法表示出出来）

最后猜测 这个 应该和 一个数的2进制序列满足什么特性 有关

sheen328

cgl_74 发表于 2021-10-27 23:44
一个递推方式的解法，供讨论。形式复杂了些，不知道是否有更简洁的表示方法。

你的解法我不知道正确不，但结果应该不对，我的\(a_{1 }\)=1,\(a_{2 }\)=2,\(a_{3 }\)=6，\(a_{4 }\)=7...你的通项公式都没有正确，这是我青少年时期发现的两个数列，二零零几年的时候发在一个网上，有人称赞为伟大的数列，其实仔细观察递推法应该行不通，这两个数列都是以2的N次方像病毒一样在无限复制自身结构，然后他帮我解出了一个不完美的表达式，我现在搞忘了，那个网站现在也不存在了

sheen328

lihp2020 发表于 2021-10-28 10:11
而且 看 王守恩 就瞄一眼 没认真看 感觉  在 任意区间 几乎  A集合 和B集合各占一半
如果有通项公式 我猜  ...

我观察了很大的数据，你的思路是对的，以前那人弄的不完美表达式有点复杂，时隔这么多年，我记不住了，唯一有点记得的指数是\((-1)^{n }\)什么的