已知 ABCD 是正方形，ΔEFB 是等腰直角三角形，BE⊥EF，G 是 DF 的中点，求证：EG=CG

tigerw

ABCD是正方形
三角形EFB是等腰直角三角形
G是DF的中点
求  EG=CG

玉树临风

求证BF中点到G为定长线段，并给出BF取值范围。

tigerw

"BF取值范围" 大于0 小于BD 的
只需求证： EG=CG。或者证明他们不相等。

条件是：
ABCD是正方形
三角形EFB是等腰直角三角形。
G是DF的中点
求证  EG=CG

lihp2020

以陆老师的思路 B为原点 BC为X轴 BA为Y轴 都为单位1   计 F（x,y）  就开始求 个点坐标 再求距离  算出来刚好相等

uk702

如图，记 \( B = 0, D= C+iC \)
\( \overrightarrow{FE}=i \times \overrightarrow{BE}  \implies F=E+i(B-E)  \)
\( G=\frac{F+D}{2} = \frac{E+D+i(B-E)}{2} = \frac{E+D-iE}{2} \)
\( \overrightarrow{GE} = G-E = \frac{D-E-iE}{2}  = \frac{C+iC-E-iE}{2} \)
\( \overrightarrow{GC} = G-C = \frac{E+D-iE-2C}{2}  \)
\( \hspace{6em} = \frac{E + C + iC -iE-2C}{2}  \)
\( \hspace{6em} =  \frac{E-C+iC-iE}{2}  \)
\( \hspace{6em} = i \overrightarrow{GE} \)

kanyikan

uk702

几何的方法也很简单。

将 △EBC 旋转90° 到 △E'DC，则：
E'D = EB 且 E'D⊥EB
E'C = EC 且 E'C⊥EC

∵ EF = EB 且 EF⊥EB  ∴ E'D // EF 且 E'D=EF
∴ 四边形 FEDE' 是平行四边形。

∵ G 是 DF 的中点，
∴ G 也是平行四边形 FEDE' 两对角线 FD 和 EE' 的交点
∴ G 也是 EE' 的中点，即是等腰直角三角形 △ECE' 斜边的中点
∴ EG=GE'=GC

tigerw

uk702 发表于 2021-10-28 11:31
几何的方法也很简单。

大神，能否再讲一下主要过程

tigerw

uk702 发表于 2021-10-28 11:31
几何的方法也很简单。

将 △EBC 旋转90° 到 △E'DC，则：

非常感谢，

王守恩

uk702 发表于 2021-10-28 11:17
如图，记 \( B = 0, D= C+iC \)
\( \overrightarrow{FE}=i \times \overrightarrow{BE}  \implies F=E+i(B ...

接5楼，不用烧脑细胞的方法也可以。
\(记FB=\sin(a)\ \ \ \ BD=\sin(b)\ \ \ \ DF=\sin(a+b)\)    则
\(k=\frac{(\sin(45^\circ)\sin(a))^2+(\sin(a+b)/2)^2-2(\sin(45^\circ)\sin(a))(\sin(a+b)/2)\cos(45^\circ+b)}{(\sin(45^\circ)\sin(b))^2+(\sin(a+b)/2)^2-2(\sin(45^\circ)\sin(b))(\sin(a+b)/2)\cos(45^\circ+a)}\ \ 化简可得\ \ k=1\)