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已知 x=rcosθ,y=rsinθ,求 x,y 关于 r,θ 的偏导数,以及 r,θ 关于 x,y 的偏导数

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发表于 2021-10-29 04:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
极坐标满足 x = r cosθ 与 y = r sinθ,极面积是 J dr dθ:


r/x应该=1/cosθ才对吧,怎么答案显示是cosθ? r/ x = x/ r怎么看都觉得别扭

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  • · 好貼|主题: 366, 订阅: 6
发表于 2021-10-29 07:59 | 显示全部楼层
r2=x2+y22rrx=2x=2rcosθrx=cosθ
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 楼主| 发表于 2021-10-29 12:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 wufaxian 于 2021-10-29 15:51 编辑
elim 发表于 2021-10-29 07:59
\(r^2=x^2+y^2\implies 2r\frac{\partial r}{\partial x}=2x=2r\cos\theta\implies\frac{\partial r}{\part ...


谢谢讲解,你的方法我看懂了。
请教一下。另r=x/cosθ,然后求r/x=1/cosθ,这是不是错在忽略了cosθ里面含有x/r。所以不能这样求偏导数。对么?

如果按照上述方法,由r2=x2+y2 x/r———->2r=2x x/r———> x/r=r/x=1/cosθ

可是前面27题显示x/r= cosθ。
所以我的计算在哪部分出错了?
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发表于 2021-10-29 23:35 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2021-10-30 03:44 | 显示全部楼层


谢谢lu老师的详细讲解。有两点疑问向你请教。
1、求xr   利用x=rcosθ  ,为什么这时候不能用r2=x2+y2 个思路去求偏导?用这个式子求偏导会违反哪些规则么?
      反过来也一样。rx 的时候为什么不能用 x=rcosθ作为起点。令r=x/cosθ

2、xx=xrrx+xθθx  这个表达式的含义是什么?就是没有这个表达式,\frac{\partial x}{\partial x}也明显等于1 .写出这个表达式的时候把x看作什么?是看作了x=rcosθ  还是看作\(r^2=x^2+y^2  或者单纯就是为了引出cosθ cosθ 。以便证明前面\frac{\partial r}{\partial x} =\frac{\partial x}{\partial r}=cosθ是正确的?
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发表于 2021-10-30 19:59 | 显示全部楼层


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谢谢lu老师的详细解答。我明白了。关键是要搞清楚在每一种情况下,谁是变量,谁是自变量。然后才知道用哪一个函数表达式来求偏导。  发表于 2021-11-1 18:09
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