求证n与n+1互质

费尔马1

求证:n与n+1互质，其中n为正整数，n＞1

太阳

这样命题无法证明

费尔马1

太阳 发表于 2021-10-30 17:29
这样命题无法证明

太阳老师你好:您是说这个命题无法证明吗？

水流成林

若不互质可以设n及n+1有一个大于1的公因数，设为p，n=pk1，n+1=pk2，pk2-pk1=1，p(k2-k1)=1，p大于1不可能，p=1，得证。

费尔马1

水流成林 发表于 2021-10-30 19:22
若不互质可以设n及n+1有一个大于1的公因数，设为p，n=pk1，n+1=pk2，pk2-pk1=1，p(k2-k1)=1，p大于1不可能 ...

感谢老师关注并解答。您的答案学生我认为是对的。其实，还有其它的证明方法啊！

费尔马1

水流成林 发表于 2021-10-30 19:22
若不互质可以设n及n+1有一个大于1的公因数，设为p，n=pk1，n+1=pk2，pk2-pk1=1，p(k2-k1)=1，p大于1不可能 ...

请问老师，采用您的这种方法能否证明:
2n+1 与2n+3互质呢？其中，n为正整数。
按照老师的方法，有，p(k2－k1)=2，在这种情况下，当p是1，(k2－k1)就是2；当p是2，(k2－k1)就是1?

独木星空谁

提的问题很巧妙。知道余数是怎么定义的，完系，简系，自证。n+1最多有n个剩余类（除了整除n+1的余数0外），以余数0为起点，则任意的第二位（正数数）。或者倒数第二位，都没有共同因子，即互质。
你说的是n与n+1，实际上，mn与mn加减1都没有共同因子，mn为整数。即它们互为质数（互质数）。

太阳

水流成林 发表于 2021-10-30 19:22
若不互质可以设n及n+1有一个大于1的公因数，设为p，n=pk1，n+1=pk2，pk2-pk1=1，p(k2-k1)=1，p大于1不可能 ...

牛头不对马嘴

太阳

这样命题无法证明

费尔马1

pk2-pk1=1，p(k2-k1)=1
这个证明方法是巧合，因为p(k2-k1)=1
p=1，(k2-k1)=1是因为两个正整数的乘积等于1，
只有1*1=1，也就是p=1，(k2-k1)=1
再用这个方法证明别的类似命题就不行了吧？