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求证n与n+1互质

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发表于 2021-10-30 12:52 | 显示全部楼层 |阅读模式
求证:n与n+1互质,其中n为正整数,n>1
发表于 2021-10-30 17:29 | 显示全部楼层
这样命题无法证明
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 楼主| 发表于 2021-10-30 18:22 | 显示全部楼层
太阳 发表于 2021-10-30 17:29
这样命题无法证明

太阳老师你好:您是说这个命题无法证明吗?
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发表于 2021-10-30 19:22 | 显示全部楼层
若不互质可以设n及n+1有一个大于1的公因数,设为p,n=pk1,n+1=pk2,pk2-pk1=1,p(k2-k1)=1,p大于1不可能,p=1,得证。
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 楼主| 发表于 2021-10-30 21:26 | 显示全部楼层
水流成林 发表于 2021-10-30 19:22
若不互质可以设n及n+1有一个大于1的公因数,设为p,n=pk1,n+1=pk2,pk2-pk1=1,p(k2-k1)=1,p大于1不可能 ...

感谢老师关注并解答。您的答案学生我认为是对的。其实,还有其它的证明方法啊!






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 楼主| 发表于 2021-10-31 05:41 | 显示全部楼层
水流成林 发表于 2021-10-30 19:22
若不互质可以设n及n+1有一个大于1的公因数,设为p,n=pk1,n+1=pk2,pk2-pk1=1,p(k2-k1)=1,p大于1不可能 ...

请问老师,采用您的这种方法能否证明:
2n+1 与2n+3互质呢?其中,n为正整数。
按照老师的方法,有,p(k2-k1)=2,在这种情况下,当p是1,(k2-k1)就是2;当p是2,(k2-k1)就是1?
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发表于 2021-10-31 06:08 | 显示全部楼层
提的问题很巧妙。知道余数是怎么定义的,完系,简系,自证。n+1最多有n个剩余类(除了整除n+1的余数0外),以余数0为起点,则任意的第二位(正数数)。或者倒数第二位,都没有共同因子,即互质。
你说的是n与n+1,实际上,mn与mn加减1都没有共同因子,mn为整数。即它们互为质数(互质数)。
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发表于 2021-10-31 10:35 | 显示全部楼层
水流成林 发表于 2021-10-30 19:22
若不互质可以设n及n+1有一个大于1的公因数,设为p,n=pk1,n+1=pk2,pk2-pk1=1,p(k2-k1)=1,p大于1不可能 ...


牛头不对马嘴
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发表于 2021-10-31 11:57 | 显示全部楼层
这样命题无法证明
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 楼主| 发表于 2021-10-31 12:16 | 显示全部楼层
pk2-pk1=1,p(k2-k1)=1
这个证明方法是巧合,因为p(k2-k1)=1
p=1,(k2-k1)=1是因为两个正整数的乘积等于1,
只有1*1=1,也就是p=1,(k2-k1)=1
再用这个方法证明别的类似命题就不行了吧?
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