赫渥特构形的解决办法

雷明85639720

赫渥特构形的解决办法
雷  明
（二○二一年十月三十一日）

由于双环交叉链是构成赫渥特构形的必要条件，没有它，不可能构成赫渥特构形，但有了它，却不一定都是赫渥特构形。所以，只要有了双环交叉链，不管它是不是赫渥特构形，都可以先想办法破坏构成赫渥特构形的这个必要条件。只要没有了双环交叉链，就不可能构成赫渥特构形了。
要破坏双环交叉链，首先要认清双环交叉链的几个关键的顶点，只要这几个关键顶点的颜色发生了改变，也就不存在双环交叉链了。一是双环交叉键的共同起始顶点，也就是构形的峰点；二是双环交叉链的交叉顶点，三是双环交叉链的两个末端顶点。
如何才能改变这几个关键顶点的颜色呢？是要有一定的条件的，没有这样的条件，还是破坏不了的。
要想改变双环交叉链的共同起始顶点A或交叉顶点A的颜色（二者只需改变一个顶点的颜色就可以使双环交叉链断开，如果这两个顶点的颜色都改变，就有可能转化成另外的双环交叉链），就必须要有一条相反的环形的C—D链把这两个顶点分隔在环的内、外，从这两个顶点的任一顶点开始交换A—B链，都不会影响到另一个顶点的颜色，双环交叉的A—C和A—D链也就断开了。经过了双环交叉链的两个末端顶点这两个关键顶点的C—D环形链就能够满足这一条件的要求。
要想同时改变双环交叉链的两个末端顶点C和D的颜色，也就必须要有一条相反的环形的A—B链把这两个顶点所在的C—D链与其他的C—D链分隔在环的内、外，从这两个顶点交换C—D链（或交换其他的C—D链），都不会使图中所有的C—D链的颜色发生改变，双环交叉的A—C链和A—D链也就断开了。经过了双环交叉链的共同起始顶点和相交叉顶点这两个关键顶点的A—B环形链也能够满足这一条件的要求。
若要想使双环交叉链中的一条断开也是可以的，只要图中某一条双环交叉链上存在着局部环形链，就可以在这个局部环形链内交换其相反链，达到使一条双环交叉链断开的目的。
以上处理含有经过了关顶点的环形链的构形的办法，可以叫做断链交换法。
如果在图中，以上的条件都不具备怎么办呢？也就是说不含有经过了关键顶点的环形链（或不含有局部环形链）的赫渥特构形该如何解决呢？这就只能连续的按一个方向（逆时针方向或顺时针方向）交换关于两个同色的链中的一条，使构形进行转型，再看转型后的构形是一个什么样的构形，再进行处理。
这种转型可分为对角链转型和邻角链转型。各转型又可分为逆时针转型和顺时针转型。
可以证明对于对角链转型来说，无论是逆时针转型还是顺时针转型，都是第四次完成了峰点颜色转型的一个周期4次转型（所生成的构形是一个可以连续的移去两个同色的可约的K—构形）后，第五次转型就生成了只有一条连通链的可约的K—构形。最大的转型次数等于峰点颜色转型的周期4加1，即4＋1＝5。
也可以证明对于邻角链转型来说，一个方向的转型若是在第三次完成了峰点颜色转型的一期3次转型（每次转型所生成的构形都是双B夹×型）后，第四次转型就生成了只有一条连通链的可约的K—构形。最大的转型次数等于峰点颜色转型的周期加1，即3＋1＝4。那么另一个方向的转型则就是在第五次转型完成了峰点位置转型的一个周期5次转型后，第六次转型就生成了只有一条连通链的可约的K—构形。最大的转型次数等于峰点位置转型的周期5加1，即5＋1＝6。
可见，对于转型来说，无论是那种转型，其最大的转型次数都是不会超过6次的。不会产生象埃雷拉E—图构形那样的无穷周期循环转型的。因为这里的构形中是不含有经过了关键顶点的环形链的，而E—图构形中却是含有经过了关键顶点A（两条双环交叉链的共同起始顶点）的环形链A—B的。而这里的构形没有产生无穷周期循环转型的条件。
另外对于不含有经过了关键顶点的环形链的构形来说，还有一种方法可以解决，那就是A—B链和C—D链交接处，总存在着某个这样的顶点，当把该顶点的颜色改变后，不含有经过了关键顶点的环型链的构形也就直接转化成了含有经过了关键顶点的环形链的构形了。可以改用断链法进行处理。在处理这种构形转型的过程中，有时也可以产生含有经过了关键顶点的环形链的构形，或可以连续的移去两个同色的可约构形等，都可以提前结束转型。
通过研究，还可以看出，邻角链转型还是较快的，建议今后多使用这一方法。

雷  明
二○二一年十月三十一日于长安

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