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n与n+1互质的经典证法

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发表于 2021-11-2 12:48 | 显示全部楼层 |阅读模式
n与n+1互质的经典证法:
求证:正整数n与n+1互质。其中,n>1。
证明:
①当n为偶数时,设n=(2^k)*p1p2p3……pi,其中,p1、p2、……pi为奇质数或奇质数的乘幂,1、2、3……i为下标。
这时,由于最小的质数2大于1,
所以,n+1不是2的倍数、不是p1的倍数、不是p2的倍数……、不是pi的倍数,
所以n+1与n没有相同的质因子,
故,n与n+1互质;
②当n为奇数时,设n=p1p2p3……pi,其中,p1、p2、……pi为奇质数或奇质数的乘幂,1、2、3……i为下标。
在这些质因子当中,有一个极限可能含有最小的奇质数3,不妨令p1=3,
则,n+1不是3的倍数、不是p2的倍数、不是p3的倍数……、不是pi的倍数,
所以n+1与n没有相同的质因子,
故,n与n+1互质。
发表于 2021-11-2 15:42 | 显示全部楼层
这样的证明错误,牛头不对马嘴
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 楼主| 发表于 2021-11-2 16:59 | 显示全部楼层
太阳 发表于 2021-11-2 15:42
这样的证明错误,牛头不对马嘴

太阳老师啊,暂时不要说这个证明是错的,还是让老师们审核一下吧!
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 楼主| 发表于 2021-11-2 17:09 | 显示全部楼层
采用连乘积的方法:
①(p1p2p3……pi+1)与(p1p2p3……pi)互质,这样你能明白吗?
②(p1p2p3……pi-1)与(p1p2p3……pi)互质,这样你能明白吗?
其中,p1、p2、……pi为质数或质数的乘幂,1、2、3……i为下标。
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发表于 2021-11-2 17:27 | 显示全部楼层
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发表于 2021-11-2 17:33 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2021-11-2 18:08 | 显示全部楼层
风花飘飘 发表于 2021-11-2 17:27
6+1不是2的倍数、…
所以6+1与6没有相同的质因子,
故,6与6+1互质?

2+1是3的倍数、…
所以2+1与3有相同的质因子,
故,3与2+1不互质……
这是程氏证明法的推广?
学生回复如下:
要证明的是n与n+1互质,依您的意思是,2+1就应该与2比较,老师的2+1为什么要与3比较呢?

再说了,例如n与n+3比较,它们就不一定互质,例如n是3的倍数的时候,它们就不互质。
n与n+2比较,也不一定互质。
您是我的老乡,您是莒县吧?我现在莒南县。
您可是老资格了,千万不要信口开河啊!
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发表于 2021-11-2 18:21 | 显示全部楼层
对于①:完全没有证明n+1不是p1、p2、……pi之一的倍数。说:n+1不是p1、p2、……pi之一的倍数,这只是作者的主观臆断;

对于②:其一,在p1、p2、……pi这些因子中,不含因子3是完全可能的,不能毫无根据地去说极有可能含因子3,即使其中含有因子3,也不是作为“n+1不是3的倍数”的依据。
其二,同样没有证明n+1不是p1、p2、……pi之一的倍数。说:n+1不是p1、p2、……pi之一的倍数,这也只是作者的主观臆断。

因此,这个“证明”,不是证明,连”错“的资格都未达到。
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 楼主| 发表于 2021-11-2 18:33 | 显示全部楼层
被遗弃的草根 发表于 2021-11-2 18:21
对于①:完全没有证明n+1不是p1、p2、……pi之一的倍数。说:n+1不是p1、p2、……pi之一的倍数,这只是作者 ...


请问老师下面这个对吗?
①(p1p2p3……pi+1)与(p1p2p3……pi)互质,这样你能明白吗?
②(p1p2p3……pi-1)与(p1p2p3……pi)互质,这样你能明白吗?
其中,p1、p2、……pi为质数或质数的乘幂,1、2、3……i为下标。

点评

(p1p2p3……pi-1)与(p1p2p3……pi)互质,就是n与n+1互质。如果你证明n与n+1互质,用(p1p2p3……pi-1)与(p1p2p3……pi)互质作为依据,这还叫证明?  发表于 2021-11-2 19:29
①(p1p2p3……pi+1)与(p1p2p3……pi)互质,就是n+1与n互质。如果你证明n+1与n互质,用(p1p2p3……pi+1)与(p1p2p3……pi)互质作为依据,这还叫证明?②(p1p2p3……pi-1)与(p1p2p3……pi)互不互质,须要证明才能定。  发表于 2021-11-2 19:01
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 楼主| 发表于 2021-11-2 18:37 | 显示全部楼层
若有些同志看不明白本帖的证明,那么,也就看不明白欧几里得的素数无限多的证明。
以后,学生也就不再与你们辩驳了,我的证明就摆在那里,还是让精通者审核吧。哈哈

点评

不是看不明白你的证明,而是看明白了:你那个不是证明,或者说,一点也没有证明。  发表于 2021-11-2 19:05
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