在 ΔABC 中，D 是 BC 上的一点，已知 AB=AD=a ，AC=b ，求 BC×DC

中国上海市

△ABC中，D∈BC，AB=AD=a，AC=b，求BC×DC

波斯猫猫

思路：设BD=y，DC=x，则BC=x+y。在△ABD中，由余弦定理有：

a^2=a^2+y^2-2aycosB，即y=2acosB。(1)

在△ABC中，由余弦定理有：b^2=a^2+(x+y)^2-2a(x+y)cosB，把(1)代入此式消去)cosB得

b^2=a^2+(x+y)^2-y(x+y)，即x(x+y)=b^2-a^2，也就是 BC×DC=b^2-a^2。

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楼上波斯猫猫的解答很好的

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

kanyikan

记不记得有个叫  斯特瓦尔特  的定理？

王守恩

kanyikan 发表于 2021-11-8 19:56
记不记得有个叫  斯特瓦尔特  的定理？

谢谢 kanyikan！记不记得有个叫斯特瓦尔特的定理(学习了)。就本题不需要那么多知识。
\(AB=AD=a=\sin(x)\ \ AC=b=\sin(y)\ \ BC=\sin(x+y)\ \ DC=\sin(x-y)\)
\(BC*DC=\sin(x+y)*\sin(x-y)=\frac{\cos(2x)-\cos(2y)}{2}\)
\(=\frac{(1-2\sin^2(x))-(1-2\sin^2(y))}{2}=\sin^2(y)-\sin^2(x)=b^2-a^2\)

波斯猫猫

6楼：
1，在两个三角形中两次使用不规范的“正弦定理”，“凭什么”这些线段的长都要限定在不超过1的范围内？
2，使用了一次积化和差，
3，两次使用倍角公式，
4，DC=sin(y-x),
5,积化和差时差了一个符号，遇到了“错错”为“正”。

王守恩

波斯猫猫 发表于 2021-11-9 11:50
6楼：
1，在两个三角形中两次使用不规范的“正弦定理”，“凭什么”这些线段的长都要限定在不超过1的范围 ...

订正如下：
\(AB=AD=a=\sin(x)\ \ AC=b=\sin(y)\ \ BC=\sin(y+x)\ \ DC=\sin(y-x)\)
\(BC*DC=\sin(y+x)*\sin(y-x)=\frac{\cos(2y)-\cos(2x)}{-2}\)
\(=\frac{(1-2\sin^2(y))-(1-2\sin^2(x))}{-2}=\sin^2(y)-\sin^2(x)=b^2-a^2\)

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∵AB=AD=a，∴B、D在以A为圆心、以a为半径的⊙A上，⊙A∩AC=E，延长CE∩⊙A=F，CD×CB=CE×CF=(b－a)×(b+a)=b∧2-a∧2