求椭圆 (x／a)^2+(y／b)^2=1（a＞b＞0）内接四边形的形状，使其内接四边形的面积最大

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求椭圆(x/a)∧2+(y/b)∧2=1(a＞b＞0)内接四边形的形状及大小，使其内接四边形的面积最大。

lihp2020

猜测 面积最大 一定是矩形 且 边分别平行 x轴 或者Y轴  (想想  还可以xy轴的4交点组合成的菱形)

luyuanhong

题 求椭圆 (x／a)^2+(y／b)^2=1（a＞b＞0）内接四边形的形状，使其内接四边形的面积最大。

解  作坐标伸缩变换，将椭圆变成圆 x^2+y^2=a^2 。椭圆内接四边形变成圆内接四边形。

我们知道，圆内接四边形，只有当四边形为正方形时，面积最大，圆内接正方形面积为 2a^2 。

再作坐标伸缩变换，将圆变成椭圆。圆内接正方形变成椭圆内接平行四边形。

因为坐标伸缩变换，面积按比例缩放，所以这个椭圆内接平行四边形面积也达到最大，为 2ab 。

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思路：根据对称性，椭圆 (x／a)^2+(y／b)^2=1（a＞b＞0）的内接四边形在各个象限与坐标轴围成的面积最

大，则其内接四边形的面积最大。在第一象限，由均值定理有1=(x／a)^2+(y／b)^2≥2xy/(ab)，或xy≤ab/2，

即在第一象限，以x，y为边长与坐标轴围成的矩形面积最大是ab/2（x=a/√2，y=b/√2），这时其内接四边形

的形状是边长为√2a，√2b的矩形，最大面积的大小为2ab。事实上，当内接四边形的顶点在椭圆的顶点时，其

形状显然是对角线为2a，2b的菱形，面积为2ab。故，其内接四边形的形状是矩形或菱形，最大面积是2ab。