利用矩阵A的特征值特征向量求解线性微分方程组推导过程中的一个问题

wufaxian

老师在讲解为什么“特征值特征向量可以用于求解线性微分方程组”时采用从特殊到一般的证明思路。先引用一个特例如下图（图一）：


首先将一个“耦合”的微分线性方程组，转变成解耦的线性微分方程组。利用dy/dt=kA---->y=e\(^{kt}\)*c的数值微分方程结论。可以快速求出u(t)的解
下一步通过假设du/dt的解是e\(^{\lambda t}\)x的形式。进行验证。首先求出矩阵A的特征值特征向量。如下图（图二）：



但是画风一转。下一步(下方图三)将du/dt=Au的问题转变为了dv/dt=\(\Lambda\)v的问题。这里就产生一个“隐患”。这个隐患就是为什么dv/dt=\(\Lambda\)v ？？确实。从图一的信息看。dv/dt的结果的确等于\(\Lambda\)v。但是这是这道题本身的特例？还是具有普遍性呢？如果具有普遍性，那么一定可以说出一些道理来吧？按照矩阵对角化的原理S\(^{-1}\)u得到的是\(c_{1}\) \(c_{2}\) \(c_{3}\)……的系数。因为u是特征向量的线性组合，所以u=SC=\(c_{1}\)\(x_{1}\)+\(c_{2}\)\(x_{2}\)，因此有：S\(^{-1}\)u=\(c_{1}\) \(c_{2}\) \(c_{3}\)……
这里将S\(^{-1}\)u=v。那么dv/dt和含义是什么呢？为什么dv/dt=\(\Lambda\)v呢 ?


接着再看下图（图四），隐患终于爆发了。从特殊情况跳到了“一般情况”。直接给出了\(\frac{d\left( S^{-1}u\right)}{dt}=\Lambda\left( S^{-1}u\right)\) 这在前面的特例确实成立。但是在“一般情况”为什么普遍成立呢？其次：
在上面的特例中是成立的。但是在一般的情况下为什么也成立呢？