P 是正方形 ABCD 外接圆 O 上一点，AP,BD 交于 E，BP,AC 交于 F，DE/EB=1/2，求 CF/FA

mrcombo

大家好，請問這題要如何下手呢?



答案為\(\frac{1}{3}\) 謝謝各位幫忙

↓示意圖

drc2000再来

赶快,要睡午觉.....

liangchuxu

画个图帮助理解

波斯猫猫

思路：1，设半径为3r，OE=m，OF=n，∠PAC=θ，由条件有正方形的对角线为6r。

2，由DE/EB=1/2，有（3r-m）/（3r+m）=1/2，即m=r。从而tanθ=r/(3r)=1/3。

3，n/(3r)=tan(45°-θ)=(1-tan45°)/(1+tan45°)=1/2，即n=3r/2。（同弧所对圆周角相等）

4， CF/FA=（3r-3r/2）/（3r+3r/2）=1/3。

王守恩

\(记OP=1,∠OPA=a,∠OPB=45^\circ-a\)

\(\frac{OF}{\sin(45^\circ-a)}=\frac{1}{\cos(45^\circ-a)},\ \ \ \frac{1}{\cos(a)}=\frac{1/3}{\sin(a)}\)

\(OF=\tan(45^\circ-a)=\frac{\tan45^\circ-\tan(a)}{\tan45^\circ+\tan(a)}=\frac{1-1/3}{1+1/3}=\frac{1}{2}\)

\(\frac{OF}{\sin(45^\circ-a)}=\frac{1}{\cos(45^\circ-a)},\ \ \ \frac{1}{\cos(a)}=\frac{n/m}{\sin(a)}\ \ \ \ \ \ \ \ OF=\frac{m-n}{m+n}\)

题目改一下：DE/EB=1/2 改 DP/PC=1/2，其余不变。

波斯猫猫

思路：设∠PAC=θ，由正弦定理有DE/sin(45°-θ)=EA/sin45°=EB/sin(45°+θ)，

即DE/EB=sin(45°-θ)/sin(45°+θ)=1/2，亦即tanθ=1/3。

类似地，有FC/sinθ=FB/sin45°=FA/sin(90°-θ)，

即FC/FA=sinθ/sin(90°-θ)=tanθ=1/3。

kanyikan

uk702

弯弯绕绕有点多。

kanyikan

luyuanhong

楼上 各位 的解答很好！已收藏。