线性微分方程组系数矩阵不可对角化时的解题思路

wufaxian

关于上题有若干问题：
1、解1的四行表达式是怎么得到的？比如第一行对da/dt积分为什么得到a(t)=a(0) 而不是其他常数呢？理论上可以是任何常数。当然，右侧说必须有与下方相同的\(e^{At}\) 。那么如果没有解2的结果。解1 就无法确定是么？那么解1存在的价值是什么？作者写解1的目的是什么？

2、题中的系数矩阵A只有0特征值和一个特征向量。因此无法利用u=\(e^{\lambda t}x\) 通过求得特征值和特征向量的方式求解？因为特征值等于0，所以变成了u=x   这是只要给一个初值，似乎还是可以确定x前面的系数吧？这样u不就求出来了？


3、假设上面2、是无法得出u的通解。那么通过 \(e^{At}\)来求解。大致思路是不是第一步先用各种方法求出 \(e^{At}\)的矩阵形式。然后利用u=\(e^{\lambda t}\)x=\(e^{A t}\)x ,绕开\(\lambda\)=0这个障碍。直接利用 \(e^{At}\)的矩阵，通过\(e^{A t}\)x求出u。上题解2最终求得了\(e^{A t}\)的矩阵。下一步只需要左乘特征向量x。就可以求出u了。对么？