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三项和平方不定方程的全通解公式

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发表于 2021-11-30 18:54 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 费尔马1 于 2021-11-30 21:38 编辑

三项和平方不定方程的全通解公式
m^2+n^2+b^2=(b+k)^2
b=(m^2+n^2-k^2)/(2k)
其中,m、n、为正整数,且不能同时为奇数,k是(m^2+n^2)的约数,且
(m^2+n^2-k^2)能被(2k)整除。
作者,程中永
发表于 2021-12-1 00:31 | 显示全部楼层
为什么m,n不能同时为奇数?
b=(m^2+n^2-k^2)/(2k)
当m和n都是奇数时,m^2+n^2是2的奇数倍:若k为奇数,m^2+n^2-k^2也为奇数,不能被2k整除;
若k为偶数,k^2和2k都是4的倍数,m^2+n^2-k^2还是2的奇数倍,不能被2k整除。

其它情况时,
当m和n都是偶数时,m^2+n^2是4的倍数:若k为偶数,m^2+n^2-k^2也为4的倍数,有可能被2k整除;
当m和n一奇一偶时,m^2+n^2是奇数:若k也为奇数,m^2+n^2-k^2是偶数,有可能被2k整除。
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 楼主| 发表于 2021-12-1 03:14 | 显示全部楼层
yangchuanju 发表于 2021-12-1 00:31
为什么m,n不能同时为奇数?
b=(m^2+n^2-k^2)/(2k)
当m和n都是奇数时,m^2+n^2是2的奇数倍:若k为奇数,m ...

非常感谢杨老师关注指点!
假设(m^2+n^2)=rts…,那么可以令k=r或k=t或k=s,或…,待入公式b=……均成立,注,若得出的b为负数,也成立,因为一个负数的平方等于这个正数的平方。整个计算过程不用试算,只要确定了参数m、n,对应之的b有多少个解就定了。其实,参数只有m、n两个数,k是由m、n推出的,所以,k还不算是参数。
这样这个公式的运行,就类似三元勾股数公式,所以,这个公式是四元全部解通式。
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 楼主| 发表于 2021-12-1 03:19 | 显示全部楼层
目前,四元勾股数公式有两种简捷的方法:
①程中永公式;
②王守恩公式。
感谢这两位老师为数论大厦添砖加瓦,也感谢参与此工程的所有老师的支持!
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发表于 2021-12-1 06:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-12-1 06:17 编辑
费尔马1 发表于 2021-12-1 03:14
非常感谢杨老师关注指点!
假设(m^2+n^2)=rts…,那么可以令k=r或k=t或k=s,或…,待入公式b=……均成立 ...


假设(m^2+n^2)=rts…,不能仅试k=r或k=t或k=s,或…;
还是应试遍m^2+n^2的所有因子,但后半数大因子均变负,可直接舍弃。
k=1都应该试一试。
m,n同为奇数的不必试。
对于m=2,n=6,m^2+n^2=40=2*2*2*5,平方因子4是有效k,因而对平方因子也要试。
对于m=6,n=6,m^2+n^2=72=2*2*2*3*3,复合因子2*3=6是有效k,因而对复合因子也要试。
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 楼主| 发表于 2021-12-1 09:13 | 显示全部楼层
yangchuanju 发表于 2021-12-1 06:15
假设(m^2+n^2)=rts…,不能仅试k=r或k=t或k=s,或…;
还是应试遍m^2+n^2的所有因子,但后半数大因子 ...

不用试,只要是m^2+n^2的因子就可以当做k值,因子之间两两组合,或三个组合等等都可以当做k值。

点评

不是所有的因子或因子积都行,大部分因子或因子积构不成四元毕达哥拉斯数。  发表于 2021-12-1 09:52
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发表于 2021-12-1 10:16 | 显示全部楼层
不是所有的因子或因子积都行,大部分因子或因子积构不成四元毕达哥拉斯数。
b是负数或小数的都不行。
n        m=a        k        b        c        m^2+n^2因子
2        1        1        2        3        1,5
2        1        5        -2        3       
2        2        1        3.5        4.5        1,2,4,8
2        2        2        1        3       
2        2        4        -1        3       
2        2        8        -3.5        4.5       
3        2        1        6        7        1,13
3        2        13        -6        7       
4        1        1        8        9        1,17
4        1        17        -8        9       
4        2        1        9.5        10.5        1,2,4,5,10,20
4        2        2        4        6       
4        2        4        0.5        4.5       
4        2        5        -0.5        4.5       
4        2        10        -4        6       
4        2        20        -9.5        10.5       
4        3        1        12        13        1,5,25
4        3        5        0        5       
4        3        25        -12        13       
4        4        1        15.5        16.5        1,2,4,8,16,32
4        4        2        7        9       
4        4        4        2        6       
4        4        8        -2        6       
4        4        16        -7        9       
4        4        32        -15.5        16.5       
5        2        1        14        15        1,29
5        2        29        -14        15       
5        4        1        20        21        1,41
5        4        41        -20        21       
6        1        1        18        19        1,7
6        1        37        -18        19       
6        2        1        19.5        20.5        1,2,4,5,8,10,20,40
6        2        2        9        11       
6        2        4        3        7       
6        2        5        1.5        6.5       
6        2        8        -1.5        6.5       
6        2        10        -3        7       
6        2        20        -9        11       
6        2        40        -19.5        20.5       
6        3        1        22        23        1,3,5,9,15,45
6        3        3        6        9       
6        3        5        2        7       
6        3        9        -2        7       
6        3        15        -6        9       
6        3        45        -22        23       
6        4        1        25.5        26.5        1,2,4,13,26,52
6        4        2        12        14       
6        4        4        4.5        8.5       
6        4        13        -4.5        8.5       
6        4        26        -12        14       
6        4        52        -25.5        26.5       
6        5        1        30        31        1,61
6        5        61        -30        31       
6        6        1        35.5        36.5        1,2,3,4,6,8,9
6        6        2        17        19        12,18,24,36,72
6        6        3        10.5        13.5       
6        6        4        7        11       
6        6        6        3        9       
6        6        8        0.5        8.5       
6        6        9        -0.5        8.5       
6        6        12        -3        9       
6        6        18        -7        11       
6        6        24        -10.5        13.5       
6        6        36        -17        19
6        6        72        -35.5        36.5
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 楼主| 发表于 2021-12-1 12:56 | 显示全部楼层
当m、n都是偶数的时候,k只能取偶数,不能取1。
再者,k要小于m^2或n^2

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没有说:“当m、n都是偶数的时候,k只能取偶数,不能取1。再者,k要小于m^2或n^2。”呀!  发表于 2021-12-1 14:55
1楼说:k是(m^2+n^2)的约数; 3楼说:可以令k=r或k=t或k=s,或…,待入公式b=……均成立; 6楼说:不用试,只要是m^2+n^2的因子就可以当做k值,因子之间两两组合,或三个组合等等都可以当做k值。 没有说:“当m、   发表于 2021-12-1 14:55
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 楼主| 发表于 2021-12-1 13:49 | 显示全部楼层
三项和平方不定方程的全通解公式
m^2+n^2+b^2=(b+k)^2
b=(m^2+n^2-k^2)/(2k)
其中,m、n、为正整数,k是(m^2+n^2)的约数,且(m^2+n^2-k^2)为偶数。
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发表于 2021-12-14 19:18 | 显示全部楼层

[m+n)^2-(m^2+n^2)]/2=mn。

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