关于 (a+b)^n 的展开式子

wxs732

主要问题是无法理解 (a+b)^n的阶乘展开式子

我在图片上写了 (a+b ) 的立方 和平方

可以不知道如何利用 二项式展开公式来写  (a+b )  4次放  5次方 和 n 次方

还望各位老师，给说说应该怎么写

ysr

系数符合杨辉三角形，公式是对的，4次和5次的展开式是这样的：
(a+b)^4=c(4,0)a^4+c(4,1)a^3b+c(4,2)a^2b^2+c(4,3)ab^3+c(4,4)b^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

(a+b)^5=c(5,0)a^5+c(5,1)a^4b+c(5,2)a^3b^2+c(5,3)a^2b^3+c(5,4)ab^4+c(5,5)b^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5

wxs732

我是不懂  c(4,0)a^4+c(4,1)a^3b+c(4,2)a^2b^2+c(4,3)ab^3+c(4,4)b^4  ，这里 c(4,0) 在式子中表达了什么
他的展开是啥

ysr

wxs732 发表于 2021-12-4 11:18
我是不懂  c(4,0)a^4+c(4,1)a^3b+c(4,2)a^2b^2+c(4,3)ab^3+c(4,4)b^4  ，这里 c(4,0) 在式子中表达了什么
...

c（4，0）=c（4，4）=1，
就是说从4个数中取出0个仅仅有1种取法，而从4个数中取4个也是仅仅有1种取法。
所以，这两个组合数是相等的，都等于1.

ysr

ysr 发表于 2021-12-4 11:23
c（4，0）=c（4，4）=1，
就是说从4个数中取出0个仅仅有1种取法，而从4个数中取4个也是仅仅有1种取法。
...

组合数公式有c（n，m）=c（n，n-m）设n<=m.

ysr

(a+b)^1=a+b,
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(a+b)^4=a(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+b(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4
(a+b)^5=a(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+b(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4)+b(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+b(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4)=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5

wxs732

谢谢老哥，我懂了， （a+b)^n  = ..........................   后面的项数 是和杨辉三角 对应的