已知 by／z+cz／y=a ，cz／x+ax／z=b ，ax／y+by／x=c ，abc=1 ，求 a^3+b^3+c^3

渣k

此题有何简便方法

FGNBGHJUOI

在线，等待大神回答(*°▽°*)

lihp2020

没得简单方法就硬算吧('a+b+c)^3展开 带进去化简

要想简单 利用abc=1  c=1/ab
看看又没啥规律

uk702

(找到错误了，删除)_

luyuanhong

此题的答案是 a^3+b^3+c^3=5 ，下面的做法非常繁杂，显然不是好办法，希望看到更巧妙的解答。

王守恩

昨天的错了(删除)。

Reduce[{(b y)/z+(c z)/y==a, (c z)/x+(a x)/z==b, (a x)/y+(b y)/x==c, a b c==1, k==a^3+b^3+c^3},{k}]

y^3 + z^3 ≠ 0 &&
(x == Root[y^3 z^3 + y^2 z^2 #1^2 + (y^3 + z^3) #1^3 &, 1] ||
x == Root[y^3 z^3 + y^2 z^2 #1^2 + (y^3 + z^3) #1^3 &, 2] ||
x == Root[y^3 z^3 + y^2 z^2 #1^2 + (y^3 + z^3) #1^3 &, 3]) &&
(x^3 + y^3) z ≠ 0 &&
(c == (-x^4 y - x y^4 + 2 x^2 y^2 z + 2 x^3 z^2 + 2 y^3 z^2)^(1/3)/(x^3 z^2 + y^3 z^2)^(1/3) ||
c=-(((-1)^(1/3)(-x^4 y-x y^4+2 x^2 y^2 z+2 x^3 z^2+2 y^3 z^2)^(1/3))/(x^3 z^2+y^3 z^2)^(1/3))||
c=((-1)^(2/3)(-x^4 y-x y^4+2 x^2 y^2 z+2 x^3 z^2+2 y^3 z^2)^(1/3))/(x^3 z^2+y^3 z^2)^(1/3))&&
y^2 + x z ≠ 0 &&
b == (c x y + c z^2)/(y^2 + x z) && a == -b^2 c^2 (-5 + b^3 + c^3) &&k == 5

波斯猫猫

题：已知 by／z+cz／y=a ，cz／x+ax／z=b ，ax／y+by／x=c ，abc=1 ，求 a^3+b^3+c^3 。

思路：设y／z=k，z／x=m，x／y=r （kmr=1），

则bk^2-ak+c=0  (1)，cm^2-bm+a=0  (2)，bk^2m^2-ckm+a=0（ar^2-cr+b=0）(3)。

因(2和)(3)是关于m的一元二次方程，且常数项均是a，

故bk^2=c，ck=b，解得k=1。

从而（1）为b-a+c=0  (4)，（3）为bm^2-cm+a=0 （5）。

又因(2和)(5)是关于m的一元二次方程，且常数项均是a，

故b=c。由（4）得a=2c。由abc=1 ，得c^3=1/2。

故 a^3+b^3+c^3=10c^3=5。

luyuanhong

luyuanhong

波斯猫猫

题：已知 by／z+cz／y=a ，cz／x+ax／z=b ，ax／y+by／x=c ，abc=1 ，求 a^3+b^3+c^3 。

思路：设y／z=k，z／x=m，x／y=r （kmr=1），则有

bk^2-ak+c=0 (1)，cm^2-bm+a=0 (2)，bk^2m^2-ckm+a=0（ar^2-cr+b=0,消去r不失一般性）(3)。

因(2和)(3)是关于m的一元二次方程，由韦达定理有

b/c=ck/bk^2，a/c=a/bk^2，解得k=1。

从而（1）为b-a+c=0  (4)，（3）为bm^2-cm+a=0 （5）。

又因(2和)(5)是关于m的一元二次方程，且常数项均是a，

故b=c。由（4）得a=2c。由abc=1 ，得c^3=1/2。

故 a^3+b^3+c^3=10c^3=5。

注：这里消去的是r（不失一般性），根据对称性，当然也可消去k或m，仍有a^3+b^3+c^3=5 。