已知圆的半径为 R ，弓形的面积为 S ，求弓形的高度 h

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已知圆的直径，弓形面积，怎么求弓形高度

lihp2020

这个是小猿搜题 下架了 在这问答案？

天山草

弓形面积 S=2πRh。故 h = S/(2πR)

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lihp2020 发表于 2021-12-17 13:42
这个是小猿搜题 下架了 在这问答案？

题目简单但我不懂，哪里问都是问，大佬给个答案！

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天山草 发表于 2021-12-17 14:27
弓形面积 S=2πRh。故 h = S/(2πR)

你这不是圆柱的面积吗

王守恩

\(已知弓形面积(劣弧)=S，圆半径=R，先求圆心角(弧度)2\theta，再求弓形高度h\)

\(S=\frac{R^2*2\theta}{2}-\frac{R^2*\sin(2\theta)}{2}=R^2(\theta-\cos(\theta)\sin(\theta))\ \ \ \ \ \ R=h+R*\cos(\theta)\)

\(S=R^2\cos^{-1}(\frac{R - h}{R}) - (R - h)\sqrt{[R^2 - (R - h)^2}\)
   

天山草

没有办法给出公式解。



已知弓形面积 S 和圆半径 R，那么弓形的高 h 满足上面这个方程。但是这个方程好像没有公式解，不知哪位大侠能给出公式解。

天山草

①  看似简单的问题，却不一定都好做。

②  平面上的问题不好做，但是类似问题移植到三维空间去，也许会变得十分简单。本题对于三维空间而言就是：

已知球半径 R 和球冠的面积 S， 问球冠的高 h 是多少？ 答案就是  h= S/(2πR)。见下图：




上图中，球半径为 R，把它放到高为 2R、底半径为 R 的空心圆柱体中。用两个平行于圆柱底面的平面 Π1、Π2 去截圆柱。无论

Π1、Π2 的间距是多少，也不论它们放在什么位置，它们在圆柱上截取的侧面积恒等于在球面上截取的球面积。

如果 Π1 位于圆柱顶面，Π2 位于圆柱底面，则圆柱的侧面积等于 2πR×2R = 4πR^2，这正是球的表面积。

王守恩

天山草 发表于 2021-12-18 13:14
没有办法给出公式解。

没有办法给出公式解(公式错了,已改，谢谢 天山草!)。

Table[Table[NSolve[{S+(R-h)Sqrt[h(2R-h)]=R^2ArcCos[(R-h)/R],R>=h>0},{h}],{S,4,9}],{R,25,35}]

{{{h-> 0.565906}},{{h-> 0.656917}},{{h-> 0.742074}},{{h-> 0.822659}},{{h-> 0.899531}},{{h-> 0.973302}}},
{{{h-> 0.558491}},{{h-> 0.648297}},{{h-> 0.732323}},{{h-> 0.811836}},{{h-> 0.887682}},{{h-> 0.960466}}},
{{{h-> 0.55145}},  {{h-> 0.640113}},{{h-> 0.723067}},{{h-> 0.801562}},{{h-> 0.876436}},{{h-> 0.948285}}},
{{{h-> 0.544752}},{{h-> 0.632328}},{{h-> 0.714263}},{{h-> 0.791791}},{{h-> 0.865741}},{{h-> 0.936701}}},
{{{h-> 0.538369}},{{h-> 0.62491}},  {{h-> 0.705874}},{{h-> 0.782481}},{{h-> 0.855551}},{{h-> 0.925664}}},
{{{h-> 0.532276}},{{h-> 0.617828}},{{h-> 0.697866}},{{h-> 0.773595}},{{h-> 0.845825}},{{h-> 0.915132}}},
{{{h-> 0.526449}},{{h-> 0.611058}},{{h-> 0.690211}},{{h-> 0.765101}},{{h-> 0.836529}},{{h-> 0.905064}}},
{{{h-> 0.52087}},  {{h-> 0.604576}},{{h-> 0.682881}},{{h-> 0.756968}},{{h-> 0.827629}},{{h-> 0.895427}}},
{{{h-> 0.515521}},{{h-> 0.59836}},  {{h-> 0.675854}},{{h-> 0.749171}},{{h-> 0.819097}},{{h-> 0.886188}}},
{{{h-> 0.510385}},{{h-> 0.592393}},{{h-> 0.669108}},{{h-> 0.741687}},{{h-> 0.810907}},{{h-> 0.877321}}},
{{{h-> 0.505448}},{{h-> 0.586658}},{{h-> 0.662624}},{{h-> 0.734494}},{{h-> 0.803036}},{{h-> 0.868798}}}

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大佬们好我是提问者，这是个平面图形，只有已知圆的直径，弓形的面积，按理说圆的直径知道，知道弓形的面积弧长和弦长是恒定值。但是无法导出。这个题目看起来很简单，但是就是如果去推公式就没法得出，可能是我数学水平太低，所以才来提问