为什么说\(\sqrt{x^2+y^2}\) 在(0,0)点偏导数不存在？

wufaxian

为什么说\(\sqrt{x^2+y^2}\) 在(0,0)点偏导数不存在？注意，不是说在这一点偏导数“无意义”，而是说偏导数“不存在”。而且老师说用偏导数定义去求，发现在(0,0)点，偏导数确实不存在。我看了一下定义，想不通，该函数在(0,0)点偏导数为什么不存在？

Nicolas2050

草履虫:lol:lol

elim

记\(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\) 则 \(\dfrac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\dfrac{|x|}{x}\)
这个差商在 0 的极限不存在(左,  右极限不相等)，所以偏导数不存在．

wufaxian

elim 发表于 2021-12-19 22:30
记\(f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}\) 则 \(\dfrac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\dfrac{|x|}{x}\)
这个差商在 0 的极限不存 ...

谢谢回复。我还是没能想明白。左右极限不相等？我试着从左右两边来求极限。
从左边\((\sqrt{(x-0)^{2}+0}-0)/x\)
从右边\(\frac{\sqrt{(0-x)^2+0}}{-x}\)
让以上x绝对值趋于0得到的极限就应该是左右极限吧？怎么不相等？
比如一元函数\(x^{2 }\) 在零点的左右极限相等么？我觉得应该相等。

數海泛舟

它，二元函數，在(0.0)點的左右極限，不同，左极限為負一，右極限為一，含有絕對值，分解，說的清楚嗎？正确嗎？

wufaxian

數海泛舟 发表于 2021-12-20 10:06
它，二元函數，在(0.0)點的左右極限，不同，左极限為負一，右極限為一，含有絕對值，分解，說的清楚嗎？正 ...

那\(x^{2 }\)的左右极限相等么？为什么？

elim

\(\small\dfrac{\scriptsize\sqrt{(x+0)^2+0^2}-\sqrt{0^2+0^2}}{\scriptsize x-0}=\dfrac{\sqrt{x^2}}{x}=\dfrac{|x|}{x}=\begin{cases}1,& x>0\\-1,& x<0\end{cases}\)
\(\therefore\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1,\;\lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1,\;\;\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x}\,\)不存在.

elim

微积分的坎只有一个，就是求极限。楼主多花点时间在极限论上。多做些极限题就可以了。

天山草

由于这个二元函数的图像，在零点处呈尖锥形。故偏导数不存在。