用数学去逼近完美圣诞曲奇

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用数学去逼近完美圣诞曲奇



撰文 | Isaac Schultz

译者 | as



整个 12 月，挪威化学家、一位热情的厨师 Martin Lersch 揉搓着自制的姜饼面团，埋头苦干。此人来回不停地翻转着他的曲奇切割器，做了一床圣诞树形状的曲奇出来。但 Lersch 的主要目标并不仅仅是一批美味的节日曲奇。他想搞出数学上完美的曲奇分割。

过去几年里，Lersch 一直试图解决一个困扰同行们已久的问题，作为一个曲奇烘焙师，“你想最大限度地利用面团，而不必回头收集所有夹杂在中间的多余面团，揉搓在一起再次擀面。这其实是为了节省时间。”



为了让间隙少占有空间，你就不得不把圆形尽可能“打碎”

Lersch 有一个博客，叫做 Khymos ，他在那上面探索烹饪的化学和科学，其中也把圣诞曲奇烘焙作为一个项目。他发现，常见的节日曲奇就形状而言通常不会很整齐地组合在一起。圣诞老人、手杖糖和姜饼人往往都会留下很多面团碎片。于是他开始了自己的追寻之路，为了得到既有节日气氛又有效率的曲奇切割器，最后设计出一种整齐排列的形状，其剩余面团最少。这就是 Lersch 的圣诞树饼，恰恰好好，可以镶嵌。

镶嵌是完美结合在一起的几何形状，最富盛名的推广者是荷兰版画家、艺术家 M.C.埃舍尔，它也是伊斯兰艺术中的一个长期特征。你平常会见到的马赛克、拼图、俄罗斯方块什么的都在此列。生活中有许许多多这样的镶嵌重复堆叠，如一张墙纸图案，从规模来说都达到了令人目眩。

Lersch 设计的曲奇切割器，可以将一张卷好的面团变成一个镶嵌的平面，这意味着形状之间没有多余空间。埃舍尔曾经写道，他发现这类模式的复杂性“非常有趣”，因为它们有“混淆二维和三维”的能力，的的确确，镶嵌长期以来都困扰着数学界最伟大的头脑们，以及它们最先进的算法。




在过去的几年里，Lersch 一直在改进他的设计。图片来自 khymos.org

切曲奇的时候你可能感觉不到自己在计算姜饼方程式，但根据最近的一项研究，这正是数学上的工作。这篇文章的主要作者、哥本哈根大学的数学家 Mikkel Abrahamsen 研究了包装问题。包装问题是企业和设计师每天都要面对的问题，他们需要计算如何在有限的空间内尽可能多地容纳物品。正如你所能想象到的那样，包装问题影响到从航运业到厨房储藏室的方方面面。

Abrahamsen 专门研究如何用几何术语精确地表达算法，准确来说就是，当你将一个曲奇切割器按到一个二维的松软画布上时会发生什么。“我们想做的是，证明当你解决这些包装问题时，实际上是被迫去解非常复杂的方程组。”

他的团队认为，包装问题是一个 R 完全方程，它的复杂性超过了计算机科学家长期研究的非多项式方程。复杂性部分来自于所涉及的变量数。为了解决最佳的包装方案——一个镶嵌能尽可能多地切完一张摊平的面团，那么你就需要提前知道每一块曲奇的理想位置。问题是，有很多方法可以在一张面团上切割曲奇形状。另外，随着曲奇切割机的每一次推进，可以用的空间在逐渐变小。如果没有电脑程序来帮忙解决问题，你可能只会在空间不够的时候才会意识到这种包装是否有效。 Abrahamsen 说：“在找到最佳解决方案之前，你需要尝试无数种可能。”。


阿罕布拉宫的瓷砖镶嵌，这是埃舍尔的艺术灵感来源。GRUBAN/CC BY-SA 2.0


受埃舍尔启发的曲奇切割器，你可以在 Thingiverse 上下载它的设计文件

不过，这并没有难倒 Lersch ，他利用免费平台 Tess 创作了来自圣诞主题的铃铛、圣诞树和其他形状的镶嵌。在一个朋友的帮助下，他还 3D 打印了几个曲奇切割器并尝试割了些面团。Lersch 的精选甜饼 pepperkake 是一种奢华的挪威姜饼——作为一名化学家，他指出，这曾经是用磨碎的鹿角中的碳酸铵制成的，不过现在大多数人都用发酵粉来代替这种碳酸铵。

在确定圣诞树是最有效的形状后，Lersch 就开动了。他模仿埃舍尔的图案，在侧面尝试各种树的轮廓，使之与周围倒过来的树完全吻合。结果非常棒，串连成排的曲奇之间没有剩下面团。

但即便用这种切割器，面团的最边缘地带还是会留下面团来。这个缺陷 Abrahamsen 在论文里警告过：用一个复杂形状的曲奇切割器去切割一张面团的时候，会有太多变数。为了最大限度提高效率，你可以使曲奇形状更简单一些：例如，用方形曲奇切割器去切一张方形面团。但显然这没法让你满意，正如 Lersch 所说，“谁会想要方形曲奇？”


Lersch 的另一个造型很有效率，但却没那么具有圣诞气氛。


Lersch 还设计了以上造型，也 ok ，但不怎么吸引人

对于像圣诞树这样复杂的形状，找到一种最有效的方法将它们排列在面团上是不可能的。在 1999 年，算法只能解决方形容器中最多容纳四个物体（简单七边形）的包装问题，程序花了 24 小时才完成这项工作。方程中每加入一种新的多边形，算法解决问题就变得越困难。正如在现实当中，当空间已经被占用时，将任何东西打包到容器中也会变得更加困难一样。据 Abrahamsen 所知，那以后也没有开发出更快的算法。

但烘焙并不总是追求完美。简单尝试创造一种最有效的方法来切碎一些节日曲奇应该受到鼓励。“我建议（人们）这样做……为了解谜的乐趣去做，”Abrahamsen 说，“去想想这个问题是很好的，但别期望找到最佳解决方案。”

Lersch 也认为，目前可能没有办法制作出一批数学上完美的节日曲奇。全世界烘焙爱好者们需要等待一个比他的圣诞树更合适的形状。但他仍然鼓励用镶嵌图案去烘焙，哪怕只是为了好玩和“书呆子气”。“如果这能减少一些人对数学或科学的恐惧，”他补充道，“那就更好了。”


一位叫做 Keith Kritselis 的网友设计的圣诞曲奇切割器

本文转载自微信公众号“科学艺术研究中心”。原文链接：https://www.atlasobscura.com/art ... stmas-cookie-cutter