P 是正方形 ABCD 中一点，已知 PA=1 ，PB=2 ，PC=3 ，求正方形 ABCD 的面积

kanyikan

波斯猫猫

思路：设B(0,0),A(0,a),C(a,0),P(x,y),由距离公式建立三元方程组，求出a即可。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

波斯猫猫

思路：设B(0，0)，A(0，√S),，C(√S，0),，P(x，y)，其中S是正方形的面积。

由条件有：x^2+y^2=4 （1），x^2+(y-√S)^2=1 （2），(x-√S)^2+y^2=9 （3）。

由（3）-（2）有√S（y-x）=4，由（3）+（2）有√S（y+x）=S-1。

把这两式分别相加减得：2√Sy=S+3，2√Sx=S-5(注意：S＞5)。

把上面两式平方相加，并由（1）得：16S=2S^2-4S+34，即S^2-10S+17=0，

或（S-5）^2=8，故S=5+2√2。

鞋子睿

http://www.mathchina.com/bbs/for ... =2047049&extra=

王守恩

\(1,\ 2,\ 3\ 改\ 1,\sqrt{2},\sqrt{5}\ 答案会简捷些\)

kanyikan

luyuanhong

楼上 kanyikan 的解答很好！已收藏。

时空伴随者

王守恩

kanyikan 发表于 2022-1-23 22:18

谢谢 kanyikan ！总算看懂了，做一道类似的题目。

P 是正三角形 ABC 中一点，已知 PA=a ，PB=b ，PC=c ，求正三角形边长 x。

\(记∠P'PC=\theta,\cos\theta=\frac{c^2+b^2-a^2}{2bc}\)

\(\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\frac{\sqrt{(2bc)^2-(c^2+b^2-a^2)^2}}{2bc}=\frac{\sqrt{(a^2-(b+c)^2)((c-b)^2-a^2)}}{2bc}\)

\(x^2=b^2+c^2-2bc\cos(60^\circ+\theta)\)

\(=b^2+c^2-2bc\big(\cos60^\circ\cos\theta-\sin60^\circ\sin\theta\big)\)

\(=\frac{a^2+b^2+c^2+\sqrt{3(a^2-(b+c)^2)((c-b)^2-a^2)}}{2}\)